MATE 4161 Curvas Elípticas
El objetivo de la clase es exponer las propiedades aritméticas básicas de la curvas elípticas. La geometría diofantina trata del estudio de las soluciones en los enteros o en los racionales de ecuaciones algebraicas. Las ecuaciones lineales no poseen mayor dificultad ; las cuadráticas, de mayor interés, fueron estudiadas ampliamente a principios del siglo XX. El siguiente caso más simple, es el estudio de las cúbicas en dos variables : las curvas elípticas. Son tan complejas que hoy en día sigue siendo un tema de investigación muy dinámico.
En la primera parte del curso, definiremos la curvas elípticas y las estudiaremos sobre
un campo de base cualquiera. Se explicará, entre otras cosas, la operación que hace de sus puntos un grupo abeliano. Luego podremos abarcar temas más avanzados, según el tiempo y el interés de los estudiantes: sobre campos finitos, demostrando el teorema de Hasse-Weil; sobre el campo de los complejos, demostrando el teorema de uniformización; sobre campos de números, demostrando el teorema de Mordell-Weil.
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