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Asistencia y participación activa en un seminario regular del Departamento.

La primera parte de la clase se concentra en el estudio de anillos y módulos sobre anillos con énfasis en los anillos de polinomios.  La segunda parte se concentra en campos y teoría de Galois. Mostramos como algunas preguntas clásicas sobre la solvabilidad de polinomios y construcciones con regla y compás se traduce a problemas de extensiones de cuerpos y probamos la insolubilidad de la quíntica. Probamos la correspondencia de Galois y calculamos el grupo de Galois de un polinomio de cuarto grado. Estudiamos campos finitos, extensiones algebraicas y trascendentes y clasificamos campos algebraicamente cerrados.

Este será un curso introductorio estándar en teoría algebraica de números. La idea es estudiar las propiedades aritméticas del anillo de enteros de un cuerpo de números—este anillo juega el papel de los enteros, como sub-anillo de los racionales, dentro del campo de números. Ejemplos específicos de lo que estudiaremos son los ideales primos de estos anillos, sus grupos de unidades, sus propiedades de ramificación y sus funciones zeta.

Comenzaremos con el estudio de politopos convexos y sus propiedades, junto con muchos ejemplos. Luego veremos grupos de reflexiones, en donde se introducirán ejemplos en geometrías no euclidianas, y diversos grupos de simetrías y teselaciones. Terminaremos hablando de superficies discretas, mencionando versiones discretas de temas de geometría diferencial, como curvaturas y superficies minimales.

Es un curso sobre los determinantes y como se les entiende esquemáticamente en el contexto de fenómenos planar y non-crossing. También vamos introducir y estudiar los clúster álgebras - un concepto que se desarrolló, en parte, para ayudar a analizar las identidades algebraicas y unas fórmulas para las expansiones determinantales (y expansiones de los objetos que se comportan como los determinantes).

Este curso es una introducción con énfasis matemático a la lógica. El contenido mínimo del curso incluye el estudio del cálculo de proposiciones y de predicados: simbolización, sintaxis, semántica, deducción formal, teoremas de validez y completitud para estos cálculos. Se da una introducción a calculabilidad: funciones recursivas, funciones Turing-calculables, equivalencia entre ellas. Se estudian algunas relaciones entre calculabilidad y propiedades formales de los cálculos lógicos estudiados.

En éste curso pretendemos presentar una introducción a los temas más importantes de la Lógica Matemática como son: el teoremas de completitud para la lógica de primer orden y el teorema de incompletitud de Gödel de la aritmética formal. El segundo tema que abordaremos será la teoría axiomática de conjuntos de Zermelo – Frenkel con el axioma de escogencia, ordinales, cardinales y aritmética cardinal. Finalmente haremos una introducción a la teoría de modelos.

En este curso opcional de pregrado en matemáticas el estudiante obtendrá los fundamentos de la teoría de lógicas modales proposicionales desde la perspectiva de la semántica relacional (modelos de Kripke). Estos fundamentos incluyen técnicas básicas de demostración, teoremas de correspondencia, resultados de decidibilidad y ejemplos de aplicaciones a otras disciplinas. Si el tiempo y los intereses de los estudiantes lo permiten, el curso incluye también una introducción a la lógica proposicional intuicionista, que si bien no es una lógica modal, es cercana a éstas en varios aspectos. La inclusión de este tema permite que el estudiante se familiarice con la noción y uso del álgebra de Lindenbaum asociada a un lenguaje lógico.

Una estructura o-minimal es un conjunto linealmente ordenado dotado con estructura adicional (por ejemplo, de un anillo o campo, o con aún más operaciones) tal que todos sus subconjuntos definibles son uniones finitas de puntos y intervalos. Aquí “definible” quiere decir en el lenguaje de la lógica del primer orden, que tiene símbolos para la igualdad, las operaciones booleanas, y cuantificadores (“para todo” y “existe algún”). Resulta que el campo de los números reales es o-mimal, y que sigue siéndolo aún si agregamos algunas operaciones tales como la exponenciación. En cierto sentido, la estudia de estructuras o-minimales es una generalización de la geometría sobre los reales.

Las “variedades” o subconjuntos definibles de R^n en una estructura o-minimal (R, <, …) poseen una bonita teoría de dimensión y son dóciles en un sentido topológico. Por ejemplo, se puede descomponerlos en un número finito de células (gráficas y regiones entre gráficas de funciones continuas) y tienen triangulaciones. Durante las últimas décadas el concepto de o-minimalidad ha tenido aplicaciones fascinantes a la geometría algebraica, como la demostración de Jonathan Pila de la conjetura de André-Oort para productos de curvas modulares.

En esta clase está dividida en dos partes: 1. Ordinales y cardinales: En ésta parte vamos a cubrir nociones básicas de la teoría de conjuntos como ordinales, cardinales, aritmética de ordinales y de cardinales y la topología del orden en los ordinales. En particular vamos a estudiar conjuntos de ordinales cerrados y no acotados (clubs). y el axioma de elección. 2. Teoría descriptiva de conjuntos: La segunda parte de la clase se va a concentrar en teoría descriptiva de conjuntos. Los temas incluyen conjuntos de Borel, espacios polacos, teorema de categoría de Baire, grupos polacos, acciones de grupos polacos, relaciones de equivalencia de Borel.

Este curso tiene dos objetivos principales. Uno es introducir la técnica del forcing para producir pruebas de consistencia relativa con los axiomas de la teoría de conjuntos; en particular se demostrará que la Hipótesis del Continuo es independiente de ZFC. El otro objetivo es estudiar algunas aplicaciones de la teoría de conjuntos a otras ramas de la matemática, en especial la topología y el análisis.

La teoría de modelos es una rama de la lógica matemática que tiene muchas aplicaciones al álgebra.

En este curso estudiaremos algunas de estas aplicaciones, principalmente en los cuerpos finitos y pseudofinitos. Nos enfocaremos en las principales propiedades modelo teóricas de estos cuerpos y analizaremos la relación que hay entre estas y ciertas características algebraicas.

El curso pretende abordar los conceptos básicos de la teoría de representaciones en el contexto de grupos finitos y en particular el grupo simétrico. Representaciones de grupos finitos, caracteres, semi-simplicidad, Lema de Schur, el anillo del grupo, el grupo simétrico, diagramas de Young, modulos de Weyl y de Specht. Dualidad de Schur-Weyl.

Este curso es una introducción a los aspectos computacionales y aplicados de la geometría algebraica. Estudiaremos la teoría de variedades afines y proyectivas y además la teoría de bases de Groebner. Obtendremos una idea de cómo funcionan los sistemas de álgebra computacional para procesar los cálculos del álgebra de polinomios.

El propósito del curso es hacer una introducción a los métodos algorítmicos en geometría algebraica (bases de Grobner, series de Hilbert, etc.) en el contexto de anillos con acciones de grupos finitos o más generalmente reductivos (polinomios simétricos). Nos enfocaremos en el cálculo algorítmico de anillos de invariantes. Estas técnicas son de interés tanto en matemáticas puras como aplicadas.

El curso presenta, con una aproximación matemática, los avances recientes más importantes en criptografía, necesarios para resolver problemas en aplicaciones avanzadas. Cubre los prerrequisitos básicos de álgebra (por ejemplo: campos de Galois y curvas elípticas), presenta las definiciones modernas de seguridad y el objetivo principal es presentar protocolos avanzados para cumplir requisitos de privacidad o de trust particulares. El curso no presenta en detalle algunos temas "viejos" de criptografía, como DES, block ciphers, modos de operación; funciones de hash, MACs, funciones de derivación, ni tampoco miramos la programación misma de algoritmos. 

Este curso está dirigido a estudiantes de matemáticas y estudiantes de otras ciencias que quieran usar la teoría de grupos en su carrera. Profundizaremos y extenderemos las ideas y construcciones que aparecen en el curso Álgebra Abstracta I para estudiar grupos de permutaciones y sus aplicaciones en la combinatoria y en la teoría de representaciones. Construcciones y estructura del grupo de permutaciones S_n y sus subgrupos, órbitas y estabilizadores, transitividad y k-transitividad, productos semidirectos y productos de corona, grupos primitivos y imprimitivos, permutaciones de conjuntos infinitos, y representaciones y caracteres de S_n.

Este será un curso introductorio en Geometría algebraica. En este curso estudiaremos variedades algebraicas, variedades proyectivas, y funciones entre ellas. Se establecerá un diccionario entre la geometría y el álgebra. Aprenderemos toda el álgebra conmutativa necesaria para poder desarrollar la geometría.

El objetivo de la teoría de la complejidad computacional es clasificar problemas computacionales por la cantidad de recursos necesaria para resolverlos. La teoría tiene conexiones con varias áreas de matemáticas como la teoría de grafos, probabilidad, y álgebra abstracta.

La “Paradoja de Banach-Tarski” dice que uno puede partir la esfera unitaria en R^3 en cuatro subconjuntos, que después de usar movimientos rígidos en el espacio euclídeo se reacomodan para formar dos esferas idénticas a la original. Este resultado es en sí mismo sorprendente, pero al resolver preguntas naturales como ¿Por qué no se puede hacer en el plano? y qué hay detrás de la paradoja, llevaron al descubrimiento y relación de conceptos importantes en teoría de grupos como “amenability”, propiedad T de Kazshdan, y aplicaciones muy interesantes de matemáticos como Gromov, Margullis y Tits. En este curso analizamos la “paradoja” y los elementos de su demostración, cómo nos conlleva a la noción de grupos “amenable”, la ausencia de la paradoja en dimensiones menores y consecuencias de “amenable” sobre condiciones de crecimiento y la propiedad T de Kazhdan.

Este curso se centra en el estudio de los automorfismos  del espacio de Lebesgue (el intervalo [0,1] con la sigma algebra de Lebesgue y la medida usual) que preservan la medida.

El análisis complejo es la teoría de funciones analíticas en el plano complejo. Es una teoría muy clásica que comenzó con los trabajos de Cauchy, Riemann y Weierstrass. Desde sus comienzos los resultados se usan cotidianamente en muchos áreas de matemáticas. En contraste a la materia “Variable compleja”, en este curso se tratan los temas básicas de la teoría del análisis complejo rigurosamente.

El curso tiene como propósito la presentación teórica de las ecuaciones básicas da la Física Matemática tales como las ecuaciones de Laplace y Poisson, las ecuaciones de transmisión de calor y de onda, los sistemas de ecuaciones en derivadas parciales de tipo Navier-Stokes y similares. Una de las características del curso es la deducción detallada de todos los resultados con demostraciones. El curso tiene un énfasis teórico y es orientado principalmente a los estudiantes de las carreras Matemática y Física, aunque también puede ser útil para los estudiantes de Ingeniería que están interesados en una avanzada base teórica.

Análisis Asintótico desarrolla más adelante el método de series de potencia ya conocido, por ejemplo de ecuaciones diferenciales. En el presente curso, el concepto de series asintóticas divergentes se introduce rigurosamente, y también se discute el origen principal de tales series – la integral de Laplace. Varias aplicaciones a los problemas de física matemática (funciones especiales, la teoría de funciones generalizadas) se estudian.

La geometría Riemanniana ha sido una de las áreas más importantes de las matematicas desde su inicio, en el siglo XIX, y sus aplicaciones en física teórica (en relatividad general, en particular) revolucionaron nuestra concepción del mundo. El curso que se presenta a continuación tiene como objetivo introducir las ideas fundamentales y las herramientas básicas de la geometría Riemanniana, presentando al mismo tiempo los resultados más importantes en el área y algunas de sus aplicaciones (clásicas y recientes) en el estudio de la topología de variedades diferenciales.

Introducción a las variedades: Topología general. Variedades topológicas. Funciones de varias variables: Diferenciabilidad de funciones de varias variables. Diferenciabilidad de funciones de R^n en R^m. Espacio de vectores tangentes a un punto en R^n. Otra definición de Ta (R^n). Campos vectoriales de subconjuntos abiertos de R^n. El Teorema de la Función Inversa. El Rango de una función. Variedades diferenciables y subvariedades: Definición de variedad diferenciable. Funciones diferenciables entre variedades. Rango de una función. Inmersiones. Subvariedades. Campos vectoriales en una variedad: El espacio tangente en un punto a una variedad. Campos vectoriales. Tensores y campos tensoriales en variedades: Covectores tangentes. Formas bilineales. Campos tensoriales. Multiplicación de tensores. Derivada exterior. Integración en variedades. Integración en variedades. Variedades con borde. El Teorema de Stokes.

Las variedades tóricas son objetos en la interseccion entre combinatoria, teoría de representaciones y geometría algebraica (formalmente se definen como “clausuras” del grupo algebraico (C^*)^n). Son además una manera muy concreta de aprender geometría algebraica y un área de investigación actual muy activa. El propósito de este curso es familiarizar al estudiante con las definiciones y propiedades principales de este tipo de variedades y desarrollar la capacidad de calcular en ejemplos concretos.

Se introducen la herramientas básicas para el estudio de la geometría de variedades con una métrica de Lorentz. Se estudiará además, con miras en sus aplicaciones a la física, la estructura causal en dicha geometría.

La topología es la rama de las matemáticas dedicada al estudio de las propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por deformaciones continuas. La disciplina origina como una formalización y generalización de conceptos, tales como límite y transformación continua que aparecen en análisis y en geometría. En el curso se da una presentación básica a los conceptos de esta disciplina.

En este curso, se usarán las formas diferenciales como una herramienta para el estudio de algunos aspectos centrales de la Topología Algebraica tales como Teorías Cohomológicas, Dualidad de Poincaré, el isomorfismo de Thom, etc. Nos limitaremos a la categoría de las variedades diferenciables, principalmente. Las técnicas usadas son útiles para entender algunos de los aspectos más importantes de la Topología Algebraica, como sucesiones espectrales, clases características, geometría compleja, etc.

El objetivo de este curso es introducir la teoría básica de grupos de Lie, álgebras de Lie y los fundamentos de la teoría de representaciones asociada, con el objeto de estudiar la geometría de espacios homogéneos, i.e. espacios que son cocientes de grupos de Lie por subgrupos cerrados.

Los haces vectoriales y en forma más general los haces fibrados juegan un papel importante en las matemáticas y la física matemática. La noción de haz vectorial surge al estudiar las variedades diferenciables y alrededor de la mitad del siglo pasado se desarrolló la teoría de clases características para su estudio. El curso abordará las construcciones de haces fibrados, haces vectoriales, sus propiedades topológicas y aplicaciones.

El alumno será capaz de manejar los principales modelos de la teoría moderna de procesos estocásticos y sus aplicaciones. Cadenas de Markov: Definiciones y ejemplos. Construcción y propiedades.  Clasificación de estados y de cadenas. Cadenas de Markov contables.  Teoremas del Límite. Distribución estacionaria. Cadenas de Markov finitas. Procesos de Renovación:   Ecuación de Renovación. Leyes de números grandes. Edad y vida residual. Procesos puntuales: Generalizaciones de los procesos de Poisson. Proceso no homogéneo. Procesos Compuestos de Poisson. Movimiento Browniano: Preliminares. Características simples del movimiento browniano estándar. Variaciones en el movimiento browniano. Principio de reflexión. Puente Browniano.

Este curso es una introducción a las teorías de la dinámica estocástica, es decir las herramientas y resultados para entender el comportamiento de procesos estocásticos a lo largo del tiempo en diferentes contextos, como familias i.i.d. de variables aleatorias independientes, cadenas de Markov, sistemas dinámicos aleatórios, procesos estacionarios, y ecuaciones diferenciales estocásticas simples.

Métodos de estimación: puntual por intervalos de confianza. Métodos de los momentos, mínimos cuadrados, máxima verosimilitud. Teoría de optimalidad: Criterios de estimación, UMVU, la información. Estimadores consistentes, distribución asintótica, estimadores eficientes, insesgasdos. Intervalos de confianza y Pruebas de hipótesis. Lema de Neyman- Pearson. Razón de verosimilitud. Pruebas de ajuste, tablas de contingencia. Modelos lineales, Teorema de Gauss- Markov, Pruebas en modelos lineales.

Introducir al estudiante a las principales ideas y técnicas de la Estadística No Paramétrica, de manera de que pueda manejar tanto los aspectos teóricos del tema como los aspectos computacionales y sea capaz de seleccionar procedimientos no paramétricos adecuados para diversos problemas de la estadística e implementarlos eficientemente en la computadora, incluso en situaciones no estándar. Asimismo, exponer al estudiante a las diversas técnicas de remuestreo disponibles en la estadística moderna, haciéndolo consciente de las posibilidades y limitaciones de este tipo de procedimiento. El curso requiere un curso previo en Estadística y cierta madurez matemática, para manejar ideas tales como el Teorema del Límite Central para U-Estadísticos, por ejemplo.

Este curso es una introducción a la teoría de procesos estocásticos en tiempo continuo con énfasis en el papel central que juega el movimiento Browniano. Se presentarán algunas aplicaciones en física y en finanzas.

Este curso es una introducción a la teoría de procesos estocásticos en tiempo continuo con énfasis en el papel central que juega el movimiento Browniano y sus generalizaciones naturales, los procesos de Lévy. Se presentarán algunas aplicaciones en biología y física.

El curso se enfoca en presentar la teoría necesaria para modelar y resolver problemas de optimización convexa, buscando siempre incluir ejemplos en el análisis de datos, donde estos problemas surgen.

Curso introductorio a las matemáticas financieras con dos ejes principales: Valoración de derivados y medida neutral al riesgo y optimización de portafolios.

Este curso busca formalizar el pensamiento estratégico  para la toma de decisiones en problemas que involucran interacciones entre agentes. Está dirigido a estudiantes que no sólo valoran el rigor formal en la formulación y análisis de los problemas, sino que también están interesados en la relación entre teoría y las aplicaciones. En el curso se desarrollan los conceptos relacionados con los juegos no cooperativos, cooperativos y evolutivos. Se analizan formalmente las ideas de racionalidad y equilibrio en juegos de diferente naturaleza, teniendo en cuenta la presencia de incertidumbre y utilizando diferentes métodos de solución. Se estudian aplicaciones en economía, finanzas, elección social, biología, ingeniería y redes, entre otras disciplinas.

Para resolver muchos problemas comunes se requiere encontrar una solución óptima en un espacio de soluciones muy grande, pero finito. La optimización combinatoria investiga algoritmos efectivos para resolver estos problemas, mediante el estudio de la estructura de sus espacios de soluciones. Aunque muchos problemas prácticos parecen ser bastante complicados (NP-completos), hay bastantes problemas que pueden ser resueltos por algoritmos efectivos (de tiempo polinomial).

Este curso intentará darles a los estudiantes un buen entendimiento de los aspectos teóricos de la programación lineal, varias nociones y algoritmos fundamentales de la teoría de grafos, y un sentido de la importancia de las pruebas constructivas en las matemáticas finitas. 

El curso busca presentar de una forma unificada los aspectos más importantes de la teoría de control y la teoría de control óptimo. Se expondrán también el uso reciente de técnicas de optimización aplicadas a control.

Un problema típico de la teoría de colas es la siguiente: Suponga que el banco tiene un solo cajero adonde llegan los clientes en momentos aleatorios, en promedio n clientes por hora. Suponga que el tiempo que se demora el cajero en atender a un cliente es una variable aleatoria que tiene una distribución normal con media M y desviación estandar s.  En promedio, cuanto tiempo tiene que esperar un cliente en la cola? –  Se discutirán variantes y generalizaciones de este problema en el curso. 

El curso es una introducción a la programación lineal y sus extensiones, enfatizando la estructura matemática que la soporta, ideas geométricas, algoritmos y soluciones de problemas prácticos.

Entrenamiento en metodología de la enseñanza. Prácticas de micro-enseñanza sobre manejo de preguntas, uso de tablero y sesión de diagnóstico. Instrucciones previas a cada clase, observaciones sobre su desarrollo, elaboración de exámenes. El estudiante dicta una sección de problemas de una magistral bajo la dirección de un profesor del Departamento.

Instrucciones para dictar clase, lectura y discusión de artículos en Educación Matemática elaboración de exámenes, observaciones. El estudiante dicta un curso bajo la dirección de un profesor del Departamento.

Elaboración de un trabajo escrito en un área específica de las matemáticas, en el cual se demuestre capacidad para la investigación y para la exposición de un tema con todos los requisitos de claridad, corrección y estilo apropiado.

En el curso se explica la metodología para encontrar temas de investigación en el área de las Matemáticas.

En este curso los estudiantes asisten al Coloquio de nuestro departamento para poder de esta forma conocer temas avanzados de investigación que podrían ser el objeto de un proyecto de grado. Al final del curso los estudiantes tienen que escoger un tema de proyecto de grado y escribir una propuesta de trabajo aprobada por un profesor de planta del departamento. El Coloquio puede ser reemplazado por la asistencia y participación activa en un seminario regular del Departamento.

 

Este curso lo deben inscribir los estudiantes de pregrado que planean recibir su grado el semestre siguiente.

Es la práctica que se realiza en una empresa, de tiempo complete.  El estudiante solo podrá inscribir este curso durante el semestre de la práctica.  Puede reemplazar una práctica docente.