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Se trata de estudiar, un tema avanzado en el área de especialización del estudiante. Las sesiones serán coordinadas por el profesor y el estudiante participa activamente en éste.

Se trata de estudiar, un tema avanzado en el área de especialización del estudiante. Las sesiones serán coordinadas por el profesor y el estudiante participa activamente en éste.

Se trata de estudiar, un tema avanzado en el área de especialización del estudiante. Las sesiones serán coordinadas por el profesor y el estudiante participa activamente en éste.

Este curso de verano cubre técnicas de programación funcional, utilizando Haskell como vehículo para entender la relación entre programación funcional y matemáticas constructivas y algunos de los recientes avances en teoría y aplicaciones.

Este curso es una introducción a las herramientas matemáticas fundamentales para el modelamiento. Se busca familiarizar a los estudiantes, que vienen de una carrera en la que se usa poco la matemática, con conceptos de los cursos del ciclo de matemáticas de las ingenierías que se usan en modelos determinísticos.

El contenido del curso incluye los siguientes temas: Anillos e Ideales. Módulos. Anillos y módulos de fracciones. Descomposición primaria. Dependencia entera y Valoraciones. Condiciones de cadena. Anillos noetherianos. Anillos de Artin. Anillos de valoración discreta y dominios de Dedekind. Completaciones. Teoría de la dimensión y si queda tiempo, otros temas que el instructor considere apropiados.

Este será un curso introductorio estándar en teoría algebráica de números. La idea es estudiar las propiedades aritméticas del anillo de enteros de un cuerpo de números—este anillo juega el papel de los enteros, como sub-anillo de los racionales, dentro del campo de números. Ejemplos específicos de lo que estudiaremos son los ideales primos de estos anillos, sus grupos de unidades, sus propiedades de ramificación y sus funciones zeta.

El contenido del curso incluye los siguientes temas, que son expuestos esencialmente en el orden descrito:
1) Teoría de grupos: subgrupos y grupos cociente, acciones de grupos en conjunto y teoremas de Sylow. El teorema de estructura de grupos abelianos finitamente generados. Ejemplos centrales: grupos cíclicos, alternantes, simétricos y dihedrales. Los tres teoremas de isomorfismo de Noether.
2) Álgebra lineal: espacios vectoriales, aplicaciones lineales, determinantes, diagonalización, forma de Jordan.
3) Anillos: ideales (a izquierda y a derecha), anillos cociente, tres teoremas del isomorfismo de Noether. Ejemplos centrales: anillos polinomiales en una o varias variables, matrices, DIPs.
4) Campos: extensiones de campos, extensiones algebraicas, extensiones trascendentes, clausura algebraica, explicación del porqué el álgebra lineal funciona mejor sobre campos algebraícamente cerrados y explicación de cómo pasar a uno de ellos. Ejemplos centrlaes: Q, R, C y el campo de q elementos.
5) Módulos: submódulos, módulos cociente (caso especial: espacio vectorial dual y espacio vectorial cociente). Tres teoremas de isomorfismo de Noether. Teoremas de estructura para módulos sobre DIPs (corolario: forma canónica de Jordan y teorema de estructura para grupos abelianos). Ejemplos centrales: módulos sobre los anillos explicados anteriormente.

Es un curso sobre los determinantes y como se les entiende esquemáticamente en el contexto de fenómenos planar y non-crossing. También vamos introducir y estudiar los clúster álgebras - un concepto que se desarrolló, en parte, para ayudar a analizar las identidades algebraicas y unas fórmulas para las expansiones determinantales (y expansiones de los objetos que se comportan como los determinantes).

En éste curso pretendemos presentar una introducción a los temas más importantes de la Lógica Matemática como son: el teoremas de completitud para la lógica de primer orden y el teorema de incompletitud de Gödel de la aritmética formal. El segundo tema que abordaremos será la teoría axiomática de conjuntos de Zermelo – Frenkel con el axioma de escogencia, ordinales, cardinales y aritmética cardinal. Finalmente haremos una introducción a la teoría de modelos.

Una estructura o-minimal es un conjunto linealmente ordenado dotado con estructura adicional (por ejemplo, de un anillo o campo, o con aún más operaciones) tal que todos sus subconjuntos definibles son uniones finitas de puntos y intervalos. Aquí “definible” quiere decir en el lenguaje de la lógica del primer orden, que tiene símbolos para la igualdad, las operaciones booleanas, y cuantificadores (“para todo” y “existe algún”). Resulta que el campo de los números reales es o-mimal, y que sigue siéndolo aún si agregamos algunas operaciones tales como la exponenciación. En cierto sentido, la estudia de estructuras o-minimales es una generalización de la geometría sobre los reales.

Las “variedades” o subconjuntos definibles de R^n en una estructura o-minimal (R, <, …) poseen una bonita teoría de dimensión y son dóciles en un sentido topológico. Por ejemplo, se puede descomponerlos en un número finito de células (gráficas y regiones entre gráficas de funciones continuas) y tienen triangulaciones. Durante las últimas décadas el concepto de o-minimalidad ha tenido aplicaciones fascinantes a la geometría algebraica, como la demostración de Jonathan Pila de la conjetura de André-Oort para productos de curvas modulares.

Este curso tiene dos objetivos principales. Uno es introducir la técnica del forcing para producir pruebas de consistencia relativa con los axiomas de la teoría de conjuntos; en particular se demostrará que la Hipótesis del Continuo es independiente de ZFC. El otro objetivo es estudiar algunas aplicaciones de la teoría de conjuntos a otras ramas de la matemática, en especial la topología y el análisis.

This is a first course in Information Theory. This course builds on material developed in a basic probability course, but the most impor-
tant requirement is mathematical maturity. The course has two explicit goals, namely to answer the following two (related) questions:
1. How efficiently can data be compressed?
2. How efficiently can data be transmitted in the presence of noise?
At the end of the course, students will have the mathematical tools to answer the above questions, as well as have a general understanding of the mathematics underpinning modern communications systems. More specifically, the main ideas we hope to cover during the course are entropy and mutual information of random variables, data compression, coding theory, and channel capacity.

Este es un curso de matemáticas donde se trata de modelos probabilísticos de riesgo en el área de seguros.
Se espera que los estudiantes asistan a las clases y trabajen en los talleres.

Objetivos de la asignatura y competencias a desarrollar son:

• exponer temas de probabilidad, procesos estochasticos y estadistica pertinentes para modelización de riesgos de aseguradoras
• fortalecer la capacidad de calculo teórico y practico adquirido en cursos de calculo integral y probabilidad

MATE-3135 is an upper-level undergraduate elective, MATE-4135 is a graduate elective mathematics course, meeting twice a week for two hours each time. The course language is English.

This class is an introductory class to the theory of large deviations. In a first part motivate the edifice of large deviations theory mainly in finite spaces in several examples, where it turns out to extremely useful. Applications are finite type convergence, Markov chains with finite states, etc. In a second part we shall study general Large deviations principle, and their applications to dynamical systems perturbed by Brownian motion, known as Freidlin-Wentzell theory, the asymptotic first exit time and locus. The class will be taught in English.

El objetivo de este curso es servir de puente entre un curso básico de Topología General (e.g. MATE3420) y temas recientes de investigación en el área. Algunos de los temas que trataremos son: Representación de Tychonov y compactificación de Stone-Čech. Álgebras booleanas y ultrafiltros. Dualidad de Stone. El álgebra P(ω)/Fin y el espacio βω.  Álgebras libres y los espacios de Cantor 2^k. Invariantes cardinales: productos y subespacios.  Agregando estructura: Grupos, semigrupos y espacios diagonalizables.  Unicidad de grupos compactos cero-dimensionales. Todo grupo compacto es diádico. Dualidad de Pontryagin.

En la segunda parte del curso veremos algunos temas más avanzados, según el interés de los participantes. Estos podrían incluir: Metrizabilidad y espacios de Moore. Teorema de extensión de homotopías y espacios de Dowker.  Topología de “subespacios elementales". Teoría de L-espacios y S-espacios.

Iniciar el estudio de la Teoría de Modelos de la Lógica de Primer Orden. Completud, Compacidad, Teoremas de Lowenheim-Skolem. Teorías K.Categóricas, Teorías Completas, Teoría Decidibles e Indecidibles. Equivalencia y Sumersión Elemental. Caracterización de Teorías Universales, Universales-Existenciales. Modelos Existencialmente Cerrados, Teorías Modelo Completas, Eliminación de Cuantificadores. Isomorfismos Parciales, Teoremas de Feferman-Vaugth. Teoremas de Interpolación y Definibilidad. Automorfismos, Indiscernibles, Teorema de Ehrenfeucht-Mostowski. Modelos Genéricos de Fraissé. Algebras Booleanas, Filtros, Ultrafiltros. Ultraproductos, Saturación de Ultraproductos. Tipos de Elementos, Realización y Omisión de Tipos, Saturación, Homogeneidad, Universalidad. Modelos Atómicos y Primos, Teorías Omega-Categóricas. Espacios de Tipos, Estabilidad, TeoríasOmega Estables. Después de esto el instructor podrá profundizar más en temas como las siguientes. Leyes 0-1 en Modelos Finitos. Espectro de Modelos Finitos. Relaciones con Complejidad. Teorema de Keisler-Shelah, Caracterización de Clases Elementales. Teorema de Categoricidad de Morely. Teorema de Baldwin-Lachlan.

En éste curso estudiaremos teorías estables y simples (una forma de generalizar las anteriores) y algunos rangos asociadas a éstas como son el rango de Morley y el rango local. Se estudiarán nociones asociadas a éstas, como son divisibilidad y bifurcación de fórmulas y tipos. Mostraremos que la definibilidad de tipos caracteriza las teorías estables y que una apropiada noción de independencia caracteriza a las teorías simples. Se estudiarán nociones combinatorias asociadas a estas teorías como son la propiedad de independencia, la propiedad del orden y la propiedad del orden fuerte. Introduciremos las teorías NIP, las teorías que NO satisfacen la propiedad de independencia, otra forma de generalizar las teorías estables.

En este curso introduciremos conceptos y técnicas de la teoría de representaciones de grupos finitos enfatizando en la teoría de representaciones del grupo simétrico. Nuestra travesía tambien incluirá algoritmos combinatorios relevantes a ésta teoría y (si el tiempo lo permite) habrán funciones simétricas.

Si usted cree en la existencia de un cierto tipo de objeto en la teoría de grafos o la ombinatoria pero no puede construirlo, ¿que haría? Erdos y Renyi introdujeron el siguiente método poderoso: demostrar que bajo una buena selección de los parámetros, un objeto aleatorio tiene las propiedades deseadas con probabilidad mayor que cero. Veremos una variedad de aplicaciones de este método y desarrollaremos las requisitas herramientas probabílísticas durante el curso.

La teoría de modelos es una rama de la lógica matemática que tiene muchas aplicaciones al álgebra.

En este curso estudiaremos algunas de estas aplicaciones, principalmente en los cuerpos finitos y pseudofinitos. Nos enfocaremos en las principales propiedades modelo teóricas de estos cuerpos y analizaremos la relación que hay entre estas y ciertas características algebraicas.

La teoría de representaciones de las álgebras de Lie, es un tema central en matemáticas, que tiene numerosas aplicaciones a otras ramas de las matemáticas (geometría, teoría de números, combinatoria, topología... ) así como en la física teórica (sistemas cuánticos integrables, teoría cuántica de campos, reglas de fusión,...)
El objetivo del curso es: primero dar una introducción a las nociones y útiles en la teoría clásica de álgebras de Lie semisimples y segundo estudiar algunas generalizaciones (álgebras de Kac-Moody, álgebra de Virasoro) y algunas aplicaciones.

Representation theory of Lie algebras is a central subject in mathematics, which has several applications to other branches of mathematics (geometry, number theory, combinatorics, topology,...) as well as in theoretical physics (quantum integrable systems, QFT, fusion rules,…)
The aim of the course is: firstly to give an introduction to the notions and tools in the classical theory of semisimple Lie algebras and secondly to study some generalizations (Kac-Moody algebras, Virasoro algebra) and some applications.

El curso teoría de representaciones de grupos  finitos está dirigido principalmente a estudiantes de matemáticas y física con conocimientos básicos de teoría de grupos y álgebra lineal. La idea es dar una introducción a varios temas de álgebra y teoría de representaciones que se pueden desarrollar de manera elemental y aparecen en muchas áreas de las matemáticas y de la física.

i.) Representaciones: Definiciones. Ejemplos básicos. Subrepresentaciones. Representaciones irreducibles.  Productos tensoriales de dos representaciones. Cuadrado simétrico y alternante. ii.) Teoría de caracteres: El carácter de una representación.  El lema de Schur. Relaciones de ortogonalidad entre caracteres. Descomposición de la representación regular. Número de representaciones irreducibles.  Descomposición canónica de una representación. Descomposición explícita de una representación. iii.) Subgrupos, productos y representaciones inducidas: Subgrupos abelianos.  Producto de dos grupos. Representaciones inducidas. iv.) Ejemplos y generalizaciones: Grupos cíclicos. Grupos diedrales. Grupos simétricos y alternantes. Representaciones de grupos compactos. v.) El álgebra de grupo: Representaciones y módulos Descomposición de C[G].  El centro de C[G].  Propiedades de integralidad de los caracteres.

Este curso es una introducción a los aspectos computacionales y aplicados de la geometría algebraica. Estudiaremos la teoría de variedades afines y proyectivas y además la teoría de bases de Groebner. Obtendremos una idea de cómo funcionan los sistemas de álgebra computacional para procesar los cálculos del álgebra de polinomios. 

El propósito del curso es hacer una introducción a los métodos algorítmicos en geometría algebraica (bases de Gröbner, series de Hilbert, etc.) en el contexto de anillos con acciones de grupos finitos o más generalmente reductivos (polinomios simétricos). Nos enfocaremos en el cálculo algorítmico de anillos de invariantes. Estas técnicas son de interés tanto en matemáticas puras como aplicadas.

El objetivo de la clase es exponer las propiedades aritméticas básicas de la curvas elípticas. La geometría diofantina trata del estudio de las soluciones en los enteros o en los racionales de ecuaciones algebraicas. Las ecuaciones lineales no poseen mayor  dificultad; las cuadráticas, de mayor interés, fueron estudiadas ampliamente a principios del siglo XX. El siguiente caso más simple, es el estudio de las cúbicas en dos variables: las curvas elípticas. Son tan complejas que hoy en día sigue siendo un tema de investigación muy dinámico.

En la primera parte del curso, definiremos la curvas elípticas y las estudiaremos sobr un campo de base cualquiera. Se explicará, entre otras cosas, la operación que hace de sus puntos un grupo abeliano.  Luego podremos abarcar temas más avanzados, según el tiempo y el interés de los estudiantes: sobre campos finitos, demostrando el teorema de Hasse-Weil; sobre el campo de los complejos, demostrando el teorema de uniformización; sobre campos de números, demostrando el teorema de Mordell-Weil.

El curso es una introducción a la teoría de los cardinales grandes. Incluirá las definiciones y propiedades principales de varios conceptos de gran cardinalidad originados por ideas muy diversas pero que calzan muy bien en una jerarquía que los hace comparables. Presentaremos cardinales grandes definidos mediante nociones de aritmética de cardinales, mediante propiedades combinatorias, mediante nociones de medida, nociones de compacidad de lenguajes y mediante inmersiones elementales.

El curso se divide en tres partes:
1) Principios del conteo;
2) Teor´ıa de grafos;
3) Combinatoria y acciones de grupo.

The course gives an introduction into delay differential equations which should enable participants to independent further study and work. Delay differential equations, sometimes also called retarded functional differential equations, are an old topic which goes back at least to Poisson (1806), but a systematic approach from a dynamical systems point of view has been developed only since the 1960ies. Delay differential equations have numerous applications from the life sciences to engineering and physics, wherever the evolution of a real world system in time involves not only instantaneous reactions but also time delays.

Objetivos:

• Modelar en aplicaciones de las ciencias y la ingeniería con ecuaciones diferenciales con retraso.
• Resolver ecuaciones diferenciales elementales en los espacios adecuados y entender sus propiedades. 
• Estudiar sistemáticamente la dinámica de ecuaciones diferenciales con retraso. 
• Simular ecuaciones con retraso en el computador.

Idioma del curso: inglés.

El objetivo principal del curso es el que los estudiantes aprendan los tópicos de actualidad en teoría de complejidad, así como las aplicaciones que están emergiendo a sistemas de computación modernos, incluyendo moneda electrónica, SNARKs, verificación de computación delegada y métodos para lograr privacidad y seguridad en aplicaciones emergentes (como IoT).

Dirigido a: matemáticos, científicos de computación, ingenieros de sistemas (con interés matemático).

An introduction to population dynamics modeling via ordinary and partial differential equations. Topics include basic non-spatial single species models, non-spatial models of interacting populations, spatial population dynamics via reaction-diffusion equations, steady state solutions, modeling of invading species, notions of critical domain size and spreading speed, extending classical models to two-compartment and spatially heterogenous settings.

Objetivos:

• Learning the classical models of non-spatial population dynamics.
• Learning and applying analytical and graphical methods to predict long-term behavior of non-spatial ecological models.
• Learning how ecological settings are modeled by various boundary value problems involving reaction-diffusion equations.
• Learning the basic techniques for analysis of long-term behavior of spatial ecological models.

Idioma del curso: inglés.

El curso es una introducción a métodos estadísticos recientes para cuantificar la incertidumbre de modelos complejos. Estos métodos intentan estimar el riesgo introducido por el hecho de que nuestros modelos del mundo tienen una precisión y una información limitada y miden cómo estas limitaciones afectan la calidad de nuestras predicciones. Los resultados que se presentarán en el curso están en la intersección entre teoría de probabilidades, estadística, sistemas dinámicos y algoritmos. Es un área naciente y muy activa de las matemáticas y el curso será dado por investigadores muy destacados en el área. El curso sera organizado sobre tres lineas. Primero herramimientos básicas en los temas de convergencia estocástica y de condicionamiento serán desarrollados. Después estudiaremos el análisis de sensibilidad global basado en métodos de decomposición de la varianza y de perturbaciones. Tercero, técnicas modernas de metamodelado (procesos gausianos, polinomios ortogonales, …), serán investigadas.

Objetivos:

• Conocer y saber utilizar herramientas de estadística asintótica.
• Cuantificar y dar diagnósticos sobre el papel jugado por las variables de entrada de un sistema no lineal complejo.
• Construir aproximaciones simples y apropiadas de funciones complejas.
• Implementar computacionalmente (Python, R, ..), métodos aleatorios de cuantificación de incertidumbre.

This course will be an introduction to Algebraic Coding Theory. Coding is an algebraic approach to adding redundancy to data, which allows us to correct for errors and erasures due to noisy environments. While originally motivated by the need for efficient data transmission, Coding Theory has also found applications more recently in
data storage, information retrieval, and cryptography, which we will cover towards the end of the course.

We will use a number of algebraic tools, and students are expected to have an excellent command of linear algebra. We will use some basics about finite fields as well, and later in the course even some tools from Algebraic Geometry and possibly Algebraic Number Theory. The background from these latter more advanced subjects will be provided as is needed, and no familiarity with them will be assumed. Overall, motivated students who have taken Abstract
Algebra I should have a good enough background to do well in the course.

Este curso está dirigido a estudiantes de matemáticas y estudiantes de otras ciencias que quieran usar la teoría de grupos en su carrera. Profundizaremos y extenderemos las ideas y construcciones que aparecen en el curso Álgebra Abstracta I para estudiar grupos de permutaciones y sus aplicaciones en la combinatoria y en la teoría de representaciones. Construcciones y estructura del grupo de permutaciones S_n y sus subgrupos, órbitas y estabilizadores, transitividad y k-transitividad, productos semidirectos y productos de corona, grupos primitivos y imprimitivos, permutaciones de conjuntos infinitos, y representaciones y caracteres de S_n.

La primera parte de la clase se concentra en el estudio de anillos y módulos sobre anillos con énfasis en los anillos de polinomios.  La segunda parte se concentra en campos y teoría de Galois. Mostramos como algunas preguntas clásicas sobre la solvabilidad de polinomios y construcciones con regla y compás se traduce a problemas de extensiones de cuerpos y probamos la insolubilidad de la quíntica. Probamos la correspondencia de Galois y calculamos el grupo de Galois de un polinomio de cuarto grado. Estudiamos campos finitos, extensiones algebraicas y trascendentes y clasificamos campos algebraicamente cerrados.

Este será un curso introductorio en geometría algebraica. En este curso estudiaremos variedades algebraicas, variedades proyectivas, y funciones entre ellas. Se establecerá un diccionario entre la geometría y el álgebra. Aprenderemos toda el álgebra conmutativa necesaria para poder desarrollar la geometría.

La “Paradoja de Banach-Tarski” dice que uno puede partir la esfera unitaria en R^3 en cuatro subconjuntos, que después de usar movimientos rígidos en el espacio euclídeo se reacomodan para formar dos esferas idénticas a la original. Este resultado es en sí mismo sorprendente, pero al resolver preguntas naturales como ¿Por qué no se puede hacer en el plano? y qué hay detrás de la paradoja, llevaron al descubrimiento y relación de conceptos importantes en teoría de grupos como “amenability”, propiedad T de Kazshdan, y aplicaciones muy interesantes de matemáticos como Gromov, Margullis y Tits.  En este curso analizamos la “paradoja” y los elementos de su demostración, cómo nos conlleva a la noción de grupos “amenable”, la ausencia de la paradoja en dimensiones menores y consecuencias de “amenable” sobre condiciones de crecimiento y la propiedad T de Kazhdan.

El quinto problema de Hilbert afirma que todo grupo topológico localmente euclideano es un grupo de Lie.

Este problema fue solucionado cuando Montgomery y Zippin y Gleason, y la demostración incluye entender de manera profunda la estructura de los grupos topológicos localmente compactos y en particular su relación con grupos de Lie.

La demostración de este teorema requiere desarrollar propiedades algebraicas y geométricas de los grupos de Lie y sus álgebras (fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff, entender teoremas de representación de grupos de Lie compactos (Peter-Weyl) y combinarlo con teoremas topológicos de metrización y compacidad. Es una relación fascinante entre diversas áreas de matemáticas con aplicaciones sorprendentes como el Teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinomial.

El curso presenta la verificación de sistemas determinísticos, posibilísticos y, en particular, probabilísticos. Incluye prerrequisitos de probabilidad, álgebra y lógica (por ejemplo: cadenas de Markov, lógicas temporales, algebras de procesos), introduce los algoritmos fundamentales de Model-checking y las técnicas de Diagramas Booleanos de decisión (BDDs), y culmina con los resultados recientes para sistemas y juegos probabilísticos. El objetivo principal es entender cómo se puede verificar que protocolos o sistemas complejos cumplan con las propiedades esperadas de estabilidad, eguridad, confiabilidad etc. y cómo diseñar estrategias “ganadoras” para juegos determinísticos o probabilísticos.

1. Análisis Real
Espacios métricos, completitud, completación de un espacio métrico, compacidad, conexidad.

2. Introducción al Análisis Funcional
Introducción a la medida de Lebesgue, Teorema de la convergencia monótona,Teorema de la convergencia dominada, Lema de Fatou; Espacios Lp. Espacios Ck [a; b], Teorema de Arzela-Ascoli, Teorema de Stone-Weierstrass.

3. Análisis Complejo
Funciones holomorfas, Ecuaciones de Cauchy-Riemann, Teorema de Cauchy y analiticidad, Calculo de Residuos, Teorema fundamental del álgebra.

El análisis complejo es la teoría de funciones analíticas en el plano complejo. Es una teoría muy clásica que comenzó con los trabajos de Cauchy, Riemann y Weierstrass. Desde sus comienzos los resultados se usan cotidianamente en muchos áreas de matemáticas. En contraste a la materia “Variable compleja”, en este curso se tratan los temas básicas de la teoría del análisis complejo rigurosamente.

El curso da una introducción a la teoría de la medida de Lebesgue y sus aplicaciones al análisis funcional y a la probabilidad.
INTEGRACIÓN ABSTRACTA: El concepto de medibilidad. Propiedades elementales de las medidas. Integración de funciones positivas. Integración de funciones complejas. Conjuntos de medida cero. MEDIDAS DE BOREL POSITIVAS: El Teorema de Representación de Riesz . Regularidad de las medidas de Borel. La medida de Lebesgue. Propiedades de continuidad de las funciones medibles. MEDIDAS COMPLEJAS: Variación total. Continuidad absoluta. El teorema de Radon–Nikodym. INTEGRACIÓN SOBRE ESPACIOS PRODUCTO: Medibilidad de productos cartesianos. El teorema de Fubini. Completación de medidas producto. Convoluciones. Funciones de distribución. DIFERENCIACIÓN: Derivada de medidas. El Teorema Fundamental del Cálculo. Transformaciones diferenciables. ESPACIOS L_p: Funciones convexas y desigualdades. Espacios L_p. Aproximación por funciones continuas.

El curso tiene como propósito la presentación teórica de las ecuaciones básicas de la Física Matemática tales como las ecuaciones de Laplace y Poisson, las ecuaciones de transmisión de calor y de onda, los sistemas de ecuaciones en derivadas parciales de tipo Navier-Stokes y similares. Una de las características del curso es la deducción detallada de todos los resultados con demostraciones. El curso tiene un énfasis teórico y es orientado principalmente a los estudiantes de las carreras Matemática y Física, aunque también puede ser útil para los estudiantes de Ingeniería que están interesados en una avanzada base teórica.

Este curso tiene como propósito la presentación teórica de los aspectos fundamentales de la teoría de las funciones generalizadas. Una de las características del curso es la deducción detallada de todos los resultados con demostraciones. El curso tiene un énfasis teórico y es orientado principalmente a los estudiantes de la carrera matemática, aunque también puede ser útil para los estudiantes de física.

La teoría de las funciones generalizadas (FG) es una parte importante del análisis que extiende el concepto de una función a los funcionales lineales continuos actuando sobre un espacio determinado de funciones básicas.

Espacios de Banach: Definiciones y ejemplos. Subespacios, transformaciones lineales, espacios cocientes. Dualidad: el teorema de Hahn-Banach. Teoremas de Banach-Steinhaus, de la Aplicación Abierta y del Gráfico Cerrado. Aplicaciones: Operadores adjuntos. Espacios de Hilbert: Definiciones y ejemplos, ortogonalidad. Operadores continuos: convergencia de operadores. Operadores hermitianos, normales y unitarios. Proyecciones ortogonales. Operadores compactos: Introducción a la teoría espectral.

Este curso tiene como propósito la presentación teórica de los aspectos fundamentales de la teoría espectral de los operadores lineales. Una de las características del curso es la deducción detallada de todos los resultados con demostraciones. 1.Criterios de compacidad en varios espacios funcionales 2. Operadores compactos auto-adjuntos en los espacios de Hilbert, su semejanza con las matrices simétricas. 3. Operadores compactos en los espacios de Hilbert, Teoremas de Fredholm para las ecuaciones funcionales, sus aplicaciones para las ecuaciones integrales con núcleos no-singulares. 4. Representación integral de los operadores auto-adjuntos y de las funciones de esos operadores, como descomposición en la medida espectral.  5. El espectro y el espectro esencial de los operadores auto-adjuntos. 6. Representación integral explícita del laplaciano actuando en el espacio de Sobolev, forma explícita de los proyectores sobre los subespacios invariantes del laplaciano.  7. Clasificación del espectro del laplaciano (puntual, continuo, esencial, residual) actuando en los espacios de Sobolev, como función de p.  8. Algunas aplicaciones de la teoría espectral a los problemas de unicidad de la hidrodinámica matemática.

El método de los elementos finitos (MEF) es una de las técnicas más importantes para la solución numérica de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. El curso va a presentar las ideas matemáticas básicas en las que se fundamenta el MEF. Se planteará el análisis matemático mediante los modelos clásicos: ecuaciones de Poisson, de Navier-Stokes y la ecuación de Cauchy en elasticidad, se presentará la formulación variacional y su aplicación a la resolución de problemas de contorno.

La interpretación física de dichas ecuaciones ligará la teoría al estudio de problemas prácticos en cálculo computacional. Para la práctica computacional se utilizará la plataforma open source Kratos Multiphysics que permite el análisis y simulación numérica a nivel de usuario e incluye además dos niveles para el desarrollo, programación básica mediante Python y avanzada mediante C++.análisis y simulación numérica a nivel de usuario e incluye además dos niveles para el desarrollo, programación básica mediante Python y avanzada mediante C++.

Stochastic differential equations are nowadays the standard class of models for most continuous time phenomena in engineering, the natural sciences, economics and life sciences. One reason for this is that compared to deterministic differential equations they exhibit a very rich (stochastic) dynamics, often also observed in the phenomena of interest. The essential difference consists in the occurrence of a random switching between different domains of attraction of the (deterministic) dynamical system and many associated phenomena.

This summer course provides a well-motivated, comprehensive introduction to stochastic differential equations for Gaussian and non-Gaussian stochastic (Lévy) processes for a mixed audience. The stochastic dynamics of these processes is then studied by means of large deviation principles, first exit times and metastability.

The course is focussed in the profound understanding of three major applications. First we will understand how different types of randomness can be used for a powerful stochastic optimization procedure known as simulated annealing. As a second application we will analyze the optimal tuning of the noise intensity in order to observe stochastic resonance, that is a synchronization in a periodically changing potential. Finally we will obtain the highly useful approximation of stochastic differential equations by means of ordinary differential equations known as Wong-Zakai procedure.

Análisis Asintótico desarrolla más adelante el método de series de potencia ya conocido, por ejemplo de ecuaciones diferenciales. En el presente curso, el concepto de series asintóticas divergentes se introduce rigurosamente, y también se discute el origen principal de tales series – la integral de Laplace. Varias aplicaciones a los problemas de física matemática (funciones especiales, la teoría de funciones generalizadas) se estudian.

La geometría Riemanniana ha sido una de las áreas más importantes de las matematicas desde su inicio, en el siglo XIX, y sus aplicaciones en física teórica (en relatividad general, en particular) revolucionaron nuestra concepción del mundo. El curso que se presenta a continuación tiene como objetivo introducir las ideas fundamentales y las herramientas básicas de la geometría Riemanniana, presentando al mismo tiempo los resultados más importantes en el área y algunas de sus aplicaciones (clásicas y recientes) en el estudio de la topología de variedades diferenciales.

La geometría Riemanniana ha sido una de las áreas más importantes de las matematicas desde su inicio, en el siglo XIX, y sus aplicaciones en física teórica (en relatividad general, en particular) revolucionaron nuestra concepción del mundo. El curso que se presenta a continuación tiene como objetivo introducir las ideas fundamentales y las herramientas básicas de la geometría Riemanniana, presentando al mismo tiempo los resultados más importantes en el área y algunas de sus aplicaciones (clásicas y recientes) en el estudio de la topología de variedades diferenciales.

En este curso, se usarán las formas diferenciales como una herramienta para el estudio de algunos aspectos centrales de la topología algebraica tales como teorías cohomológicas, dualidad de Poincaré, el isomorfismo de Thom, etc. Nos limitaremos a la categoría de las variedades diferenciables, principalmente. Las técnicas usadas son útiles para entender algunos de los aspectos más importantes de la topología algebraica, como sucesiones espectrales, clases características, geometría compleja, etc.

Profundizar en las aplicaciones de las Teorías de Homología, Cohomología y Clases Características. Evidenciar la relación de estas teorías con la Geometría. Teoría de Transversalidad en Superficies Compactas. Topología de Variedades de Baja Dimensión. Clases Características de Chern y de Pontrjagyn. Breve introducción a la Geometría Compleja y Compleja Generalizada. Obstrucciones para la Existencia de Estructuras Complejas Generalizadas.

El objetivo de este curso es introducir la teoría básica de grupos de Lie, álgebras de Lie y los fundamentos de la teoría de representaciones asociada, con el objeto de estudiar la geometría de espacios homogéneos, i.e. espacios que son cocientes de grupos de Lie por subgrupos cerrados.

Los haces vectoriales y en forma más general los haces fibrados juegan un papel importante en las matemáticas y la física matemática. La noción de haz vectorial surge al estudiar las variedades diferenciables y alrededor de la mitad del siglo pasado se desarrolló la teoría de clases características para su estudio. El curso abordará las construcciones de haces fibrados, haces vectoriales, sus propiedades topológicas y aplicaciones.

El análisis topológico de datos es una nueva herramienta para hacer análisis exploratorio de datos. Su propósito es extraer información basada en la estructura subyacente de los datos. Muchos de estos datos se representan como puntos en un espacio de alta dimensión, pero posiblemente están concentrados alrededor de estructuras geométricas de baja dimensión.
El objetivo del curso es familiarizar a los estudiantes con estos nuevos métodos.

Topological Data Analysis (TDA) is a new tool in exploratory data analysis and data mining. It aims to extract underlying structures of the data. Many such data come in the form of point clouds, living in high-dimensional spaces, but possibly concentrated around low-dimensional geometric structures.
The objective of this course is to familiarize the students with these new methods.

Este curso es una introducción a las teorías de la dinámica estocástica, es decir las herramientas y resultados para entender el comportamiento de procesos estocásticos a lo largo del tiempo en diferentes contextos, como familias i.i.d. de variables aleatorias independientes, cadenas de Markov, sistemas dinámicos aleatórios, procesos estacionarios, y ecuaciones diferenciales estocásticas simples.

Introducir al estudiante a las principales ideas y técnicas de la Estadística No Paramétrica, de manera de que pueda manejar tanto los aspectos teóricos del tema como los aspectos computacionales y sea capaz de seleccionar procedimientos no paramétricos adecuados para diversos problemas de la estadística e implementarlos eficientemente en la computadora, incluso en situaciones no estándar. Asimismo, exponer al estudiante a las diversas técnicas de remuestreo disponibles en la estadística moderna, haciéndolo consciente de las posibilidades y limitaciones de este tipo de procedimiento. El curso requiere un curso previo en Estadística y cierta madurez matemática, para manejar ideas tales como el Teorema del Límite Central para U-Estadísticos, por ejemplo.

El curso introduce al estudiante a una variedad de métodos no paramétricos para la toma de decisiones en datos de alta dimensión y disponibles en muestras de gran tamaño. El problema principal que se discute a lo largo del semestre es el de clasificación, principalmente en el caso de Aprendizaje Supervisado, aunque también se  discuten algunos procedimientos de Aprendizaje no Supervisado y de reducción de dimensionalidad. Para cada procedimiento presentado se discuten aspectos de implementación y la teoría matemática que sustenta su validez.

Entre los procedimientos estudiados están:
Regresión Logística, Análisis de Componentes Principales, Discriminadores Lineales (desde el Perceptron hasta Maquinas de Soporte Vectorial), Arboles de Clasificación, Bosques Aleatorios, Boosting. Se discute en detalle la teoría del clasificador de Vecinos más cercanos. Se dedica atención especial a la dimensión VC (Vapnik-Cervonenkis) y su aplicación a Leyes Uniformes de Grandes Números (generalizaciones de Glivenko-Cantelli) y el uso de estos resultados en el paradigma de Minimización de Riesgo estructural.

Un 40% de la evaluación del curso depende de Proyectos Computacionales, tipicamente desarrollados en el lenguaje R. El resto corresponde a exámenes escritos y exposiciones de temas avanzados.

Introducir al estudiante al movimiento Browniano y algunas de sus propiedades. Presentarle la teoría básica de integración estocástica con respecto al movimiento Browniano y su relación con las ecuaciones diferenciales estocásticas de difusión. Darle la posibilidad al estudiante de aplicar estos conceptos en el contexto de las aplicaciones en finanzas.

Este curso es una introducción a la teoría de procesos estocásticos en tiempo continuo con énfasis en el papel central que juega el movimiento Browniano y sus generalizaciones naturales, los procesos de Lévy. Se presentarán algunas aplicaciones en biología y física.

El propósito de este curso es estudiar dos aspectos importantes de la optimización convexa:

1. Métodos numéricos (demostrar que el problema de aproximar la solución a un problema de optimización convexa con precisión muy alta es de complejidad POLINOMIAL) y discutir algunas implementaciones eficientes.

2. El rol de la optimización convexa en la aproximación de problemas combinatorios (el algoritmo de Goemans-Williamson y las jerarquías de aproximación de Lasserre y Parrilo para problemas de momentos). Se discutirán además muchas aplicaciones de la optimización convexa que resultan de estos dos aspectos.

El curso se enfoca en presentar la teoría necesaria para modelar y resolver problemas de optimización convexa, buscando siempre incluir ejemplos en el análisis de datos, donde estos problemas surgen.

El curso es una introducción a la programación lineal y sus extensiones, enfatizando la estructura matemática que la soporta, ideas geométricas, algoritmos y soluciones de problemas prácticos.

El objetivo es poner al estudiante en contacto con una gama amplia de temas matemáticos avanzados y enseñarle a sintetizar y exponer oralmente dichos temas con claridad y precisión.

El objetivo es poner al estudiante en contacto con una gama amplia de temas matemáticos avanzados y enseñarle a sintetizar y exponer oralmente dichos temas con claridad y precisión. En este seminario el estudiante decidirá el tema en el área en que piensa desarrollar su trabajo de grado y preparará con el profesor que posiblemente será su director de trabajo de grado una exposición sobre el tema escogido.

El objetivo del seminario es introducir plenamente al estudiante en la actividad investigativa, por medio del estudio directo de la literatura matemática especializada y capacitarlo, no solo para la solución de problemas, sino para su adecuada formulación. El estudiante debe presentar el proyecto de tesis al Comité de Postgrado e Investigaciones del Departamento antes de la última semana de retiros del semestre, se espera que el estudiante avance en su investigación en el periodo posterior.

El estudiante deberá elaborar un trabajo de investigación en alguna de las áreas matemáticas que el Programa de Magíster ofrece. Éste debe demostrar que el autor ha realizado un trabajo de asimilación y sistematización, o una exploración cuidadosa en la frontera de un tema concreto, evidenciando cierto grado de creatividad y una gran familiaridad con la información reciente sobre el tema. El Trabajo de Grado debe estar redactado en castellano o inglés y poseer la organización formal propia de un trabajo científico.

Este curso lo deben inscribir los estudiantes de posgrado que planean recibir su grado el semestre siguiente.

Materia que inscriben los estudiantes de posgrado cuando hacen intercambios académicos con Universidades de otros países.