MATE - Matemáticas

Este curso pretende dar a los estudiantes inscritos, tiempo adicional de apoyo en los temarios del curso MATE1201-Precálculo.

Este curso pretende dar a los estudiantes inscritos, tiempo adicional de apoyo en los temarios del curso MATE1203-Cálculo diferencial

El estudiante podrá escoger una materia entre MATE2101- ALGEBRA ABSTRACTA 1 y MATE2201- ANALISIS 1.

El estudiante puede escoger un curso de este tipo dentro de la oferta de materias electivas básicas del departamento de matemáticas. La oferta cambia semestralmente para garantizar una variedad de cursos ofrecidos.

El estudiante puede escoger un curso de este tipo de la oferta de materias electivas avanzadas del departamento de matemáticas según sus intereses y necesidades. Los cursos ofrecidos cambian semestralmente para poder garantizar una gran variedad de áreas y temas que se cubren con ellos.

Es requisito para el grado de matemáticas, presentar un Area Menor, es decir, cinco cursos (15 créditos) que formen un todo coherente, preferiblemente en un mismo programa de la universidad (puede ser una Opción de otro departamento). Se pueden utilizar algunos Curosos de Libre Elección o de CBUs para cumplir con este requisito. El Área Menor debe ser aprobada por el departamento de matemáticas.

Las matemáticas han estado en el meollo del pensamiento occidental y de su desarrollo científico, tecnológico y económico. No se puede imaginar el mundo actual sin incluir algo tan ubicuo como los números, los modelos matemáticos utilizados tanto para comprender como para cambiar la naturaleza y los medios computacionales que han revolucionado la sociedad en el último siglo. Además, las matemáticas han sido agentes principales en las discusiones acerca de las dos preguntas más importantes de la filosofía según Bertrand Russell: ¿cuál es la estructura de la realidad? y ¿cómo es que la conocemos? o en otras palabras ¿cuál es la conexión entre la realidad y las ideas acerca de la realidad?

Este curso pretende explorar los conceptos que se han desarrollado y madurado en distintas épocas sin los cuales no se podría concebir el mundo actual, o por lo menos, la matemática actual. Se puede pensar en reducirlos a cuatro grandes temas: 

1. La idea de número. 

2. “El gran libro [de la naturaleza] está escrito en lenguaje matemático”. 

3. La independencia del mundo físico. 4. La simbiosis entre la matemática y el computador.

Este curso se propone hacer un recorrido por la vida y la obra de Leonardo da Vinci, presentando sus investigaciones y sus trabajos en el doble contexto del marco de su época y de las disciplinas que hoy constituyen las ciencias, las artes y la cultura en general. Doble, y quizás triple contexto, pues, por una parte, no se puede tener una idea cabal del Renacimiento si se pasa por alto la dedicación que artistas, filántropos y humanistas mostraron hacia el saber desarrollado en la Antigüedad clásica; y, por otra parte, la fascinación que ha suscitado la figura de Da Vinci se debe en gran medida a que la intuición que siguió al indagar en campos muy diversos lo muestra como un claro adelantado a hallazgos y conocimientos que sólo se vendrían a descubrir y a aceptar décadas y siglos más tarde.

 El curso pretende proveer elementos de interés para que el estudiante se pregunte por los cambios en la cultura mental del ser humano en su tránsito a los tiempos de hoy, en especial en lo que se refiere a la dicotomía representada por la lógica y el sueño. En lugar de detallar aquí una tabla de contenidos, los principales ejes temáticos del curso se pueden vislumbrar a través de las siguientes preguntas, que podrían aparecer en el examen final:
―¿Los sueños que cada quien sueña son personales o universales?
―¿Qué diferencia hay entre la mente y el cerebro?

Se ofrecen charlas que permiten que el estudiante tenga una sobrevista de diferentes aspectos y áreas de las matemáticas y sus interrelaciones con otras disciplinas. Se propicia un acercamiento a los profesores del departamento y sus áreas de investigación. El estudiante reflexiona acerca de qué son las matemáticas y cuál es su rol en la sociedad actual.Introducción a las diferentes áreas que componen el programa de Matemáticas. Acercamiento de los estudiantes a los profesores del Departamento a través de las diferentes charlas que los profesores hacen sobre sus áreas de trabajo. Aproximación a las experiencias de la vida matemática de cada profesor mediante entrevistas sobre su biografía académica. Iniciación al trabajo matemático mediante la elaboración de una pequeña monografía.

En este curso se pretende ir construyendo paso a paso una reflexión amplia sobre el tema del laberinto, a medida que se invita al estudiante a hacer un recorrido por la rica variedad de expresiones que ha alcanzado su representación, a lo largo de los tiempos y a lo ancho de las culturas. Esta indagación nos permitirá, a la vez, internarnos en campos tan diversos como la música (Bach, Monteverdi, Berio), la literatura (Sófocles, Virgilio, Las mil y una noches, Dante, Proust, Kafka, Borges, Perec, Eco), la arquelogía (Evans, Petrie, Hawass), la simbología de las tradiciones espirituales (Jung, Eliade, Guénon, Burckhardt), las artes plásticas (Da Vinci, Tintoretto, Piranesi, Watts, Picasso, Escher), las matemáticas (álgebras de Boole, grupos cíclicos), la mitografía (Apolodoro, Ovidio, Plutarco), la informática (algoritmos para modelar la salida de un laberinto) y los juegos (de estrategia, de la oca, tarot).

Este curso busca ayudar a los estudiantes a resolver dudas y conceptos del curso MATE1102 Matemática Estructural.

Este curso busca ayudar a los estudiantes a  resolver dudas y conceptos del curso MATE2201 Análisis 1.

En momentos privilegiados de las civilizaciones, se han unido el pensamiento, la mano y la luz en un inusual acto de armonía, y a las huellas que han quedado como resultado de esta forma de lenguaje mayor las denominamos catedrales, mandalas, pirámides, santuarios, pagodas, menhires, tabernáculos y templos. En este curso se invita a estudiar la estructura, el contexto y la función simbólica de unas de las edificaciones de culto más representativas de todos los tiempos. Los megalitos de Stonhenge, la pirámide “de Keops”, el oráculo de Delfos, el Tabernáculo de Israel, la Kaaba de La Meca, la catedral de Chartres, el laberinto de Creta y la pagoda de Horyu-ji son algunas de las construcciones más conocidas, ya sea a través de su relato mítico, o por sus vestigios arqueológicos, o en su funcionamiento vivo. Durante las clases enfocaremos nuestra atención en unas de ellas, escogidas de modo que sean distintivas de las culturas egipcia, griega, judía, cristiana, musulmán, celta y budista. Por su parte, los estudiantes podrán exponer en sus trabajos lo relativo a otras construcciones, que convoquen su interés y complementen el repertorio.

En momentos privilegiados de las civilizaciones, se han unido el pensamiento, la mano y la luz en un inusual acto de armonía, y a las huellas que han quedado como resultado de esta forma de lenguaje mayor las denominamos catedrales, mandalas, pirámides, santuarios, pagodas, menhires, tabernáculos y templos. En este curso se invita a estudiar la estructura, el contexto y la función simbólica de unas de las edificaciones de culto más representativas de todos los tiempos. Los megalitos de Stonhenge, la pirámide “de Keops”, el oráculo de Delfos, el Tabernáculo de Israel, la Kaaba de La Meca, la catedral de Chartres, el laberinto de Creta y la pagoda de Horyu-ji son algunas de las construcciones más conocidas, ya sea a través de su relato mítico, o por sus vestigios arqueológicos, o en su funcionamiento vivo. Durante las clases enfocaremos nuestra atención en unas de ellas, escogidas de modo que sean distintivas de las culturas egipcia, griega, judía, cristiana, musulmán, celta y budista. Por su parte, los estudiantes podrán exponer en sus trabajos lo relativo a otras construcciones, que convoquen su interés y complementen el repertorio.

El curso se propone hacer un recorrido por la historia de los números desde que el hombre comenzó a contar haciendo marcas en los troncos de los árboles hasta hoy que cuenta con sofisticados computadores y números de muy distintas clases. Ese recorrido lo aprovecharemos para explorar algunas de las propiedades fundamentales de los números, tales como la divisiblidad, la factorización, los números primos, números perfectos, amigos y abundantes, ecuaciones diofánticas, y funciones aritméticas.

El curso pretende abrir la posibilidad de que los estudiantes de diversas disciplinas se aproximen al conocimiento de la teoría de los números, y a que puedan sumergirse en problemas interesantes y exigentes, desarrollando así sus habilidades analíticas.

Contenidos del curso son:
Conjuntos, operaciones conjuntistas, demostración por elementos, álgebra de conjuntos. Teoría de números, principio del buen orden, principios de inducción, aplicaciones a conteo. Divisibilidad, algoritmo de la división, algoritmo de Euclides, números primos, congruencias, teorema chino de los residuos, pequeño teorema de Fermat. Relaciones, órdenes, relaciones de equivalencia, funciones, aplicaciones a conteo. Cardinalidad de conjuntos finitos e infinitos, teorema de Cantor-Schröder-Bernstein. Estructuras matemáticas, isomorfismo de estructuras, rudimentos de teoría de grupos.

La teoría de números ha determinado y sigue determinando en gran parte la historia de las matemáticas. Su estudio exige el desarrollo y ejercicio del raciocinio riguroso. Los problemas que plantean, muchos desconcertantes por su aparente simplicidad, han sido fuente de inspiración para la creación matemática a todos los niveles.

Temas del curso: Durante los primeros tres meses se verán temas como divisibilidad, primos, ecuaciones lineales, congruencias, residuos cuadráticos, funciones multiplicativas, ecuaciones diofantinas no lineales, fracciones continuas, aproximación de irracionales, distribución de los primos. Si queda tiempo, durante el último mes se verán temas escogidos por el instructor.

Contenido:

• Vectores en el espacio Euclideo, norma y producto escalar; producto cruz. Área y volumen en R^2 y R^3.
• Matrices y su álgebra, sistemas de ecuaciones lineales. Determinantes. Inversas de matrices cuadradas.
• Espacios vectoriales. Conceptos básicos. Vectores en coordenadas. Independencia lineal, dimensión y bases. Subespacios.
• Transformaciones lineales en espacios vectoriales y su representación, transformaciones lineales del plano. Rango y kernel. Cambio de bases.
• Ortogonalidad en espacios Euclidianos. Proyecciones ortogonales. Proceso de Gram-Schmidt.
• Matrices simétricas y ortogonales. Valores y vectores propios, diagonalización y aplicaciones.
• Diagonalización de formas cuadráticas. Aplicaciones a la geometría.

El contenido es el mismo de MATE-1105 pero con mayor profundidad y rigor. Vectores en el espacio Euclideo, norma y producto escalar.  Matrices y su álgebra, sistemas de ecuaciones lineales. Inversas de matrices cuadradas, sistemas homogéneos, subespacios y bases. Independencia y dimensión, el rango de una matriz. Transformaciones lineales en espacios Euclideos, transformaciones lineales del plano. Espacios vectoriales, conceptos básicos en espacios vectoriales, vectores en coordenadas. Transformaciones lineales y determinantes. Áreas, volúmenes y producto cruz, el determinante de una matriz cuadrada, cálculo de determinantes y regla de Cramer. Valores y vectores propios, diagonalización y aplicaciones. Proyecciones, el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt, matrices ortogonales. Matriz de proyección y el método de cuadrados mínimos. Cambio de base, representaciones matriciales y similaridad. Diagonalización de formas cuadráticas. Aplicaciones a la geometría.

Repaso del curso anterior (Mate-1105) con mayor rigor: Espacios vectoriales, Subespacios, Combinaciones lineales, Bases y dimensión; Transformaciones lineales, núcleo e imagen; Representación matricial de una transformación lineal, Matriz de cambio de coordenadas, Espacio dual; Matrices elementales y sistemas de ecuaciones lineales; Determinantes, su caracterización como forma multilineal; Valores y vectores propios, diagonalizabilidad, subespacios invariantes, Teorema de Cayley-Hamilton; Espacios con Producto Interno: Operador adjunto, Operadores normales, autoadjuntos, unitarios y ortogonales; Proyección ortogonal y Teorema Espectral, Formas bilineales y cuadráticas. Aplicaciones a la teoría de la relatividad: Principio de relatividad de Einstein; Transformaciones de Lorentz. Forma Canónica de Jordan: Forma normal de Jordan; polinomio minimal. Álgebra Multilineal y Tensores: Tensores sobre un espacio vectorial; Ejemplos y aplicaciones.

Álgebra y aritmética: operaciones con fracciones, números reales, notación científica,  exponentes y radicales, polinomios, factorización,  expresiones racionales, ecuaciones, aplicaciones, desigualdades.

Funciones: definición de función, gráficos de funciones, funciones lineales, pendiente, operaciones entre funciones, función compuesta, función inversa, distancia, punto medio, círculos.

Funciones polinomiales y racionales: números complejos, funciones cuadráticas, funciones polinomiales, sus raíces y sus gráficas, funciones racionales y sus gráficas, desigualdades de funciones polinomiales y racionales, aplicaciones.

Geometría y trigonometría: ángulos, triángulos semejantes, Teorema de Pitágoras, trigonometría en triángulos rectángulos, funciones trigonométricas, gráficos de funciones trigonométricas, identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas.

Funciones: álgebra de funciones, funciones trigonométricas, función exponencial, funciones inversas, logaritmos, inversas trigonométricas, principios de resolución de problemas.

Límites y derivadas: velocidad y tangentes, límite de una función, cálculo de límites, continuidad, límites al infinito, razones de cambio, derivadas, la función derivada, reglas de derivación, derivadas de funciones trigonométricas, regla de cadena,  derivación implícita, derivadas de logaritmos, derivadas de orden superior, funciones hiperbólicas.

 Aplicaciones de las derivadas: razones relacionadas, máximos y mínimos, teorema del valor medio, derivadas y gráficas, regla de l'Hôpital, trazado de curvas, optimización.

Integrales: antiderivadas, áreas y distancia, integral definida, teorema fundamental del cálculo, integración por sustitución, áreas entre curvas, volúmenes de sólidos de rotación por los métodos de rebanadas y de conchas cilíndricas. 

Este curso se recomienda a los estudiantes que traen mejores bases matemáticas del bachillerato, a los más interesados en esta disciplina y, en particular, a los estudiantes de matemáticas. En los distintos programas de estudio de la universidad, es equivalente al curso MATE-1203 y su contenido es el mismo, pero con mayor profundidad y rigor pues se imparte a estudiantes con mayor preparación y más competitivos.

Funciones: álgebra de funciones, funciones trigonométricas, exponencial, funciones inversas, logaritmos, inversas trigonométricas, principios de resolución de problemas.

Límites y derivadas: velocidad y tangentes, límite de una función, cálculo de límites, continuidad, límites al infinito, razones de cambio, derivadas, la función derivada, reglas de derivación, derivadas de funciones trigonométricas, regla de cadena, derivación implícita, derivadas de logaritmos, derivadas de orden superior, funciones hiperbólicas.

Aplicaciones de las derivadas: razones relacionadas, máximos y mínimos, Teorema del Valor Medio, derivadas y gráficas, Regla de l'Hôpital, trazado de curvas, optimización.

Integrales: antiderivadas, áreas y distancia, integral definida, Teorema Fundamental del Cálculo, integración por sustitución, áreas entre curvas, volúmenes de sólidos de rotación por los métodos de rebanadas y de conchas cilíndricas.

Se comienza con las ecuaciones de planos, rectas, superficies cilíndricas y superficies cuádricas en 3D. A partir del concepto de vector se definen campos escalares, campos vectoriales y en general funciones vectoriales. Se tratan los principales temas del cálculo infinitesimal en varias variables como son límites, derivadas e integrales. Todo el curso está orientado a estudiar los teoremas fundamentales del cálculo vectorial: El teorema de Green, el teorema fundamental para integrales de línea, el teorema de Stokes y el teorema de Gauss. El curso también incluye varias aplicaciones de estas ideas: Optimización libre y optimización restringida (multiplicadores de Lagrange), centros de masa y momentos de inercia, planos tangentes, campos vectoriales conservativos, potencial escalar, gradiente, rotacional y divergencia.

Curvas en el plano y en el espacio. Superficies cilíndricas y cuádricas. Rectas y Planos. Derivadas parciales, regla de la cadena. Diferenciación en campos escalares y vectoriales: definiciones, técnicas y aplicaciones. Noción de gradiente. Máximos y mínimos de funciones de varias variables. Multiplicadores de Lagrange. Integrales de línea, múltiples, de superficie y de volumen. Teoremas de Green, Stokes y Gauss. Aplicaciones físicas y geométricas. La diferencia con MATE-1207 no es el contenido, es la profundidad y  rigurosidad de los temas tratados.

En éste curso se introducen los temas de cálculo en varias variables – diferenciación e integración y, principalmente, el tema de  optimización con y sin restricciones.  Uno de los objetivos es que el estudiante vea la aplicación de estos temas a la Economía.  Haciendo énfasis en el uso de las matemáticas, las técnicas tienen aplicaciones no solamente en el ámbito económico sino también en otras áreas como Administración, Ingeniería, Física, o Biología.  El estudiante también se va familiarizándose con un rigor matemático, pues se demuestran formalmente muchos de los resultados y teoremas.

Contenido del curso:
Funciones de varias variables. Derivadas parciales, Formas cuadráticas. Regla de la Cadena. Derivadas de funciones definidas implícitamente. Elasticidades parciales. Funciones homogéneas. Sistemas de Ecuaciones. El Teorema de la Función Implícita. Optimización. Máximos y Mínimos. Teoremas de los Valores Extremos. Puntos extremos locales. Conjuntos convexos. Funciones cóncavas y convexas. Pruebas de segundas derivadas. Métodos de los multiplicadores de Lagrange.

Contenidos de la materia:

Función. Gráficos de funciones. Funciones cuadráticas. Operaciones en funciones. Funciones inversas. Polinómicas y funciones racionales. Funciones exponencial, logarítmica y trigonométricas. Escalas logarítmicas. Transformaciones de gráficas. Translación vertical y horizontal. Problemas de tangente y velocidad. Límite de una función. Límite. Continuidad. Límites al infinito. Tangentes, velocidades y otros índices del cambio. Derivadas. Función derivada. Regla de derivación. Reglas del producto y cociente. Derivadas en ciencias naturales y sociales. Derivadas de funciones trigonométricas. Regla de cadena. Derivadas de orden superior. Diferenciación implícita. Teorema del valor medio. Antiderivadas. Áreas y distancias. Integral definida. Teorema fundamental del cálculo. Integral indefinida. Regla de substitución. Logaritmo como integral. Áreas entre curvas. Valor medio de una función. Integración por partes.

Repaso del concepto de al integral. Técnicas de Integración. Ecuaciones Diferenciales. Equilibrios y estabilidad. Puntos y vectores. La norma de un vector. Producto de vector. Líneas en el plano. El producto escalar. Ecuación paramétrica de la recta. Funciones de varias variables. Derivadas parciales. Planos tangentes, funciones derivables y linealización. La regla de la cadena. Derivada direccional y gradiente, Máximos y mínimos. Línea de regresión. Integrales múltiples. Sistemas lineales. Sistemas autónomos no lineales y aplicaciones a la biología.

Contenidos del curso:
Integración por partes, Integrales trigonométricas, sustitución trigonométrica, fracciones parciales, estrategias de integración, integrales impropias, longitud de arco, área de superficie de revolución, aplicaciones a otras disciplinas, modelación con ecuaciones diferenciales de primer orden, ecuaciones separables, crecimiento y decaimiento exponencial, ecuación logística, ecuaciónes diferenciales lineales de primer orden. Ecuaciones paramétricas, cálculo con ecuaciones paramétricas, coordenadas polares, áreas y longitud en coordenadas polares. Sucesiones, series, criterio de la integral, criterios de comparación, series alternantes, criterios de la razón y la raíz n-ésima, series de potencias, representación en series de potencias, series de Taylor y Maclaurin, números complejos, ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden de coeficientes constantes.

En contenido, este curso es similar al curso MATE-1214, pero el tratamiento de los temas se hace más a profundidad. El contenido cubre integración por partes, integrales trigonométricas, sustitución trigonométrica, fracciones parciales, estrategias de integración, integrales impropias, longitud de arco, área de superficie de revolución, aplicaciones a otras disciplinas, modelación con ecuaciones diferenciales de primer orden, ecuaciones separables, crecimiento y decaimiento exponencial, ecuación logística, ecuación lineal de primer orden, ecuaciones paramétricas, cálculo con ecuaciones paramétricas, coordenadas polares, áreas y longitud en coordenadas polares, sucesiones, series, criteriode la integral, criterios de comparación, series alternantes, criterios de la razón y la raíz n-ésima, series de potencias, representación en series de potencias, series de Taylor y Maclaurin, números complejos, ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden de coeficientes constantes.

Este es un curso básicamente de técnicas algebraicas y sus aplicaciones, con una aplicación de las series a las matemáticas financieras al final del curso. El texto está orientado a la enseñanza y utilización de las técnicas.

Objetivos de la materia son familiarizarse con las técnicas del álgebra básica, con el concepto de función, en particular las funciones logarítmica y exponencial, y la aplicación práctica de estos temas fundamentales. De
interés particular es familiarizarse con algunas técnicas de las matemáticas financieras, como el interés simple y el compuesto.

Este curso cubre dos grandes temas, Cálculo Integral, incluyendo series y su convergencia y una introducción a Probabilidades, restringida a variables aleatorias unidimensionales. Se supone que el estudiante ha visto el curso de Cálculo Diferencial (MATE 1203), y por tanto maneja el concepto de antiderivada, así como el Teorema Fundamental del Cálculo y la técnica de integración por medio de sustitución de variables. A partir de allí, en MATE1252 se desarrolla el estudio de las técnicas clásicas de integración en una variable y sus aplicaciones a diversos problemas, incluyendo problemas geométricos planteados en términos de curvas. Posteriormente, el estudiante enfrenta el tema de series infinitas y adquiere conocimiento sobre los criterios fundamentales de convergencia y divergencia de series. La discusión sobre Probabilidades parte de la motivación de los axiomas de la probabilidad, para luego discutir las consecuencias de los axiomas, la probabilidad condicional e independencia de eventos y el cálculo de probabilidad para variables aleatorias discretas o continuas y para funciones de variables aleatorias.

En este curso se cubren dos áreas: Álgebra Lineal y Cálculo III. En álgebra lineal se estudia Rⁿ, vectores, suma, producto punto (escalar), sus propiedades, ecuación de la recta, ecuación del plano, sistemas de ecuaciones, matrices, determinantes, valores y vectores propios. Por otra parte, en Cálculo tres, está orientado a maximización y minimización de funciones en varias variables. Es importante señalar que en cada uno de los temas siempre se ve su aplicabilidad desde el punto de vista de economía y administración es por ello que temas como: Conjuntos convexos, funciones tipo Coob-Douglas, Leontief, CES, max son de mucha relevancia en el curso.

En este curso se desarrolla el cálculo para funciones de varias variables, métodos de optimización para funciones de varias variables, aplicaciones de integrales múltiples, la integral de línea y de superficie. Se estudiarán los teoremas de Green, Stokes y el Teorema de la Divergencia.

El énfasis será en el aprendizaje orientado a problemas y el uso de herramientas computacionales y de impresión 3d para aplicar los conceptos del curso.

Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica clásica son:

1) Dada una ecuación, determinar su interpretación geométrica o su representación.

2) Dada una figura geométrica o una condición geométrica, determinar su ecuación o representación analítica.

La geometría analítica es el lenguaje que une la geometría y el álgebra. Hoy día estos mismos problemas siguen siendo válidos pero dentro de un contexto más general. Es normal que se encuentren algunos temas comunes con el curso de Álgebra Lineal por la naturaleza de la Geometría Analítica la cual nace de un "matrimonio'' entre el álgebra y la Geometría, aunque los temas tienen enfoques diferentes.

El objetivo primordial del curso es desarrollar en el estudiante ambos lenguajes, el geométrico y el algebraico y capacitarlo para poder  pasar de un lenguaje al otro sin ningún problema. Sobre todo el curso es muy importante para la formación de un matemático joven porque apoya su entendimiento de las matemáticas como un sistema integral.

Se espera que al finalizar el curso, el estudiante tenga una comprensión de la relación geometría arte y que domine técnicas para construir algunos diseños decorativos, con una sustentación geométrica y con apoyo en software de libre acceso. El curso aborda momentos importantes en el desarrollo de la geometría y su correspondiente manifestación artística: Conceptos básicos de geometría. Topología intuitiva. Movimientos rígidos. Mosaicos. Razones, proporciones y semejanza. Poliedros. Geometría fractal.

Se espera que al finalizar el curso, el estudiante tenga una comprensión de la relación geometría arte y que domine técnicas para construir algunos diseños decorativos, con una sustentación geométrica y con apoyo en software de libre acceso. El curso aborda momentos importantes en el desarrollo de la Geometría y su correspondiente manifestación artística: Conceptos básicos de geometría. Topología intuitiva. Movimientos rígidos. Mosaicos. Razones, proporciones y semejanza. Poliedros. Geometría fractal.

Se busca lograr que el estudiante descubra por sí mismo la belleza oculta de la Matemáticas en uno de sus áreas más representativas, a saber, la Geometría. Mediante el estudio previo (informal) de la Geometría Euclidiana y algunas no Euclidianas, así como de sus aplicaciones en arte, arquitectura y física, se pretende que el estudiante comprenda (de un modo no técnico) la noción de verdad tanto en Matemáticas como en la ciencia en general, así como su evolución a través de la Historia.

Se busca lograr que el estudiante descubra por sí mismo la belleza oculta de la Matemáticas en uno de sus áreas más representativas, a saber, la Geometría. Mediante el estudio previo (informal) de la Geometría Euclidiana y algunas no Euclidianas, así como de sus aplicaciones en arte, arquitectura y física, se pretende que el estudiante comprenda (de un modo no técnico) la noción de verdad tanto en Matemáticas como en la ciencia en general, así como su evolución a través de la Historia.

Curso introductorio que pretende dar herramientas descriptivas y de inferencia en el manejo de datos en un experimento de tipo social, para encontrar conclusiones sobre el comportamiento de un individuo con respecto a su entorno social, político, económico, etc. Contenido: términos básicos; Análisis descriptivo, histogramas, ojivas, medidas de tendencia central, de dispersión, interpretación de gráficas. Introducción a la probabilidad: definición de evento, función de densidad de probabilidad y sus reglas, eventos mutuamente excluyentes, eventos independientes, probabilidad condicional. Variables aleatorias discretas, distribución binomial, media y desviación estándar de la distribución binomial, distribución normal estándar. El teorema del límite central y aplicaciones. Estimación puntual y por intervalo de una media, dos medias, una y dos proporciones. Pruebas de hipótesis para una y dos medias y una y dos proporciones. Pruebas de independencia.

Estimación puntual y por intervalo, pruebas de hipótesis, prueba de hipótesis e intervalos de confianza para muestras pequeñas, muestras dependientes e independientes, pruebas para la diferencia de dos medias de poblaciones independientes, estimación de σ (desviación estándar), pruebas para la desviación estándar de una población, pruebas para las desviaciones estándar de dos poblaciones independientes, estimación de una proporción, pruebas referentes a una proporción, pruebas referentes a dos proporciones, tablas de contingencia, pruebas de bondad de ajuste, regresión lineal simple, análisis de regresión, análisis de correlación, regresión lineal múltiple, prueba F y relación con la regresión lineal, introducción al análisis de varianza, descomposición de la varianza, análisis en un problema de clasificación de un factor, comparaciones a priori, pruebas post-hoc. Pruebas no paramétricas: prueba del signo, prueba del rango, pruebas no paramétricas, prueba del rango signado de Wilcoxon, prueba de Kruskal-Wall.

El objetivo de este curso es familiarizar al estudiante con los conceptos básicos de probabilidad y con las distribuciones más usadas. Dicho conocimiento no solamente será útil para un curso posterior de Estadística o Procesos Estocásticos, sino que es directamente aplicable a muchas situaciones donde reina el azar o la aleatoriedad. Métodos Combinatorios. Coeficientes binomiales. Espacios Muestrales. Probabilidad, reglas. Probabilidad condicional,  independencia. Teorema de Bayes. Distribuciones de probabilidades. Variables Aleatorias continuas, funciones de densidad. Distribuciones multivariadas. Distribuciones marginales. Distribuciones condicionales. Valor esperado. Momentos, Teorema de Chebyshev. Funciones generatrices de momentos. Momentos producto. Momentos de combinaciones Lineales, esperanza condicional. Uniforme, Bernoulli, Binomial. Binomial negativa, geométrica, hipergeométrica. Poisson. Multinomial, hipergeométrica multivariada. Uniforme, gamma, exponencial ,j-i cuadrada. La distribución beta. La distribución normal. Aproximación normal a la binomial. Normal divariada. Funciones de variables aleatorias. Técnica de transformación: una variable. Técnica de transformación: varias variables. Técnica de función generatriz de momentos. Distribuciones de muestreo. Distribución de la media.

El objetivo de este curso es familiarizar al estudiante con la inferencia estadística, con la estimación y pruebas de hipótesis concernientes a los parámetros de una población y con modelos de regresión lineal múltiple. Se expone la teoría acompañada de ejemplos prácticos y prácticas con paquetes estadísticos como SPSS, SAS o STATA. Distribución de la media. Distribución χ cuadrada. Distribución t. Distribución F.  Estadísticas de orden. Estimadores insesgados. Eficiencia. Consistencia. Suficiencia. El método de momentos. El método de máxima verosimilitud. Estimación de medias. Estimación de diferencia entre medias. Estimación de proporciones. Estimación de diferencia entre proporciones. Estimación de varianzas y cociente. Pruebas de hipótesis. Lema de Neyman Pearson. Función potencia, razón de verosimilitudes. Pruebas de medias. Pruebas de diferencia entre medias. Pruebas de varianzas. Pruebas de proporciones. Análisis de una tabla rXc. Bondad de ajuste. Método de los mínimos cuadrados. Análisis de regresión normal. Análisis de correlación normal. Regresión lineal múltiple. Notación matricial.

Contenidos del curso:
Sistemas de ecuaciones lineales. Matrices. Adición y multiplicación de matrices. Inversa de una matriz. Determinante. Estadística descriptiva: términos básicos, medidas de tendencia central y de dispersión. Análisis descriptivo, gráficas de Pareto, estogramas, interpretación de gráficas, datos divariados. Matemáticas discretas: Conjuntos, operaciones de conjuntos, conteo. Principios básicos de conteo. Permutaciones. Combinaciones. Relaciones, relación de equivalencia, particiones, coeficiente binomial. Funciones: principio del palomar, composición, simetría. Probabilidad: introducción a la probabilidad, definición de evento, función de probabilidad, reglas de la función de probabilidad, eventos mutuamente excluyentes, eventos independientes, probabilidad condicional, regla de Bayes, variables aleatorias discretas, distribuciones binomial, geométrica, y Poisson. El valor esperado, varianza y desviación estándar de las distribuciones discretas, distribuciones continuas: normal, uniforme y exponencial. Herramientas de estadística. Intervalos de confianza. Regresión Lineal.

En este curso se dan inicialmente unos conceptos básicos de probabilidad, pero está orientado a enseñar técnicas estadísticas básicas con énfasis en las aplicaciones. El texto del curso está orientado a las aplicaciones y hace uso de bases de datos reales, por lo que el curso también irá acompañado de software estadístico. El texto tiene una separata con un contenido matemático más formal, que el profesor usará convenientemente y que puede motivar al estudiante al estudio de material estadístico más avanzado.

Los objetivos de la materia son:

• Familiarizar al estudiante con modelos matemáticos aplicables a las ciencias.
• Profundizar la relación entre las matemáticas y la medicina.
• Desarrollar en los estudiantes una estructura lógica del pensamiento para aplicarla en la resolución de algunosp roblemas de medicina y para poder comunicarse de una manera coherente en forma oral y escrita.
• Desarrollar en el estudiante el gusto por los temas matemáticos y una sensibilidad hacia la belleza matemática que presentan los temas en sí mismos.

El objetivo de la asignatura es dar una introducción al área de matemáticas aplicadas.
Da una vista amplia de varios problemas e ideas fundamentales de las matemáticas aplicadas. Se desarrolla la habilidad de aplicar matemáticas a problemas de la vida real.

Competencias a desarrollar:

• vista panorámica de matemáticas aplicadas la cual haría posible por parte de los estudiantes hacer una elección informada de cursos, proyectos, prácticas y seminarios en el futuro;– experiencia con Excel (muy exigida en el mercado laboral colombiano) de manera intelectualmente estimulante;
• madurez intelectual que permita escoger una descripción matemática apropiada de problemas de la “vida real"

Conceptos preliminares: Conjuntos y Relaciones de Equivalencia. Grupos y Subgrupos: Operaciones binarias, grupos y gubgrupos, grupos Cíclicos y generadores.

Grupos y Cosets: Grupos de permutaciones, órbitas, ciclos y grupos alternantes, introducción a isomorfismos y el Teorema de Cayley, cosets y el Teorema de Lagrange, productos directos y grupos abelianos finitamente generados.

Homomorfismos y Grupos Factor: Homomorfismos, grupos factor, grupos simples, series de grupos, grupos de acción sobre conjuntos, aplicaciones de G-conjuntos en combinatoria.

Teoría Avanzada de Grupos: Teoremas de Sylow, grupos abelianos libres, grupos libres.

Anillos y Campos: Anillos, campos y dominios de integridad.

En este curso se establece la relación entre los conceptos de álgebra y el campo de cristalografía. Se trata de un curso de matemáticas, por lo tanto los temas de física serán desarrollados solo con el fin de motivació

 

Este curso está dirigido a los estudiantes de matemáticas y de otras ciencias que quieran usar la teoría de combinatoria en sus carreras. Profundizaremos y extenderemos las ideas y construcciones que aparecen en el curso de matemática estructural para estudiar los problemas de conteo y sus aplicaciones en matemáticas, ciencia, e ingeniería.

En este curso se presentarán los aspectos básicos de la teoría axiomática de conjuntos, desarrollada a partir de los axiomas de Zermelo-Fraenkel.

Este curso opcional dirigido a estudiantes de pregrado es una introducción rigurosa a los fundamentos matemáticos de la teoría de computación. Se estudian las correspondencias fundamentales entre los tipos de autómatas y lenguajes formales que participan en la jerarquía de Chomsky, las nociones básicas de computabilidad (máquinas de Turing y tesis de Church-Turing) y nociones básicas de complejidad computacional (clases P, NP, reductibilidad, problemas NP-completos.

Se espera que el estudiante que tome este curso ya conozca las nociones básicas de teoría de conjuntos (operaciones básicas de conjuntos y demostración de propiedades de conjuntos) y los métodos de demostración elementales, en particular el de demostración por inducción.

En el curso no se hará programación, pero sí se espera que el estudiante que tome que el curso está familiarizado con las nociones y estructuras básicas de programación (ciclos, instrucciones condicionales, recursión, etc.).

Este curso ofrece una introducción a los modelos matemáticos de la computación cuántica. Los temas cubiertos incluirán: probabilidad cuántica, algoritmos cuánticos (incluyendo algoritmo de factorización de Shor, algoritmo de búsqueda de Grover y el problema del subgrupo oculto), corrección cuántica de errores y una introducción a la teoría, computación cuántica tolerante a errores.

Este curso cubre los conceptos básicos fundamentales para las matemáticas como espacioes métricos; sucesiones y series, límites; continuidad, diferenciabiliad de funciones; integración de Riemann; sucesiones y series funciones; convergencia puntual y uniforme de sucesiones de funciones; aproximación de funciones (series de Taylor; Teorema de Weierstrass).

NÚMEROS COMPLEJOS: Conceptos básicos y representaciones.
FUNCIONES ANALÍTICAS: Ecuaciones de Cauchy-Riemann, Funciones armónicas.
FUNCIONES COMPLEJAS ELEMENTALES: exponencial, trigonométricas, hiperbólicas y logaritmo, Transformaciones con la función exponencial.
INTEGRACIÓN COMPLEJA: Integrales de camino, Teorema de Cauchy-Goursat, Fórmula integral de Cauchy.
SUCESIONES Y SERIES: Convergencia, Series de Taylor y de Laurent.
RESIDUOS: El teorema de los residuos de Cauchy.
APLICACIONES DE LOS RESIDUOS: Cálculo de integrales impropias, Integrales impropias en el análisis de Fourier; el lema de Jordan.

Números complejos, álgebra y geometría de los números complejos. Aplicaciones conformes. Funciones analíticas. Funciones complejas elementales: función exponencial, funciones trigonométricas, logaritmos. Integración compleja: teorema de Cauchy-Goursat. Teorema de Liouville.  Sucesiones y series, series de potencias, series de Taylor y de Laurent. Cálculo de residuos. Representación conforme. Funciones armónicas.

Números Complejos. Funciones Analíticas. Funciones Elementales. Integrales. Teoremas de Cauchy-Goursat. Solución  Numérica de Ecuaciones en una Variable. Problemas de Valor Inicial en Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Métodos de solución de Sistemas Lineales, directos e iterativos. Solución de Sistemas de Ecuaciones no Lineales. Solución de problemas de frontera en Ecuaciones Diferenciales Parciales. Diferencias Finitas.

Métodos generales de resolución de ecuaciones de primer orden. Ecuaciones lineales de orden 2 o superior. Ecuaciones lineales de orden 2 con coeficientes variables. Aplicaciones a la física. Sistemas de ecuaciones de primer orden. Sistemas lineales homogéneos y no homogéneos. Aplicación de series de potencias a la solución de ecuaciones diferenciales. La transformada de Laplace. Series de Fourier.  Funciones ortogonales. Ecuaciones diferenciales parciales. Aplicaciones: ondas, vibraciones, conducción del calor.

En la mayoría de los temas las ecuaciones diferenciales estudiadas responden a modelos matemáticos de procesos que tienen su origen y aplicación en ciencia e ingeniería. Por lo tanto el énfasis del curso es el aprendizaje de los algoritmos
para resolver las ecuaciones diferenciales y la interpretación (o significado) de la ecuación diferencial o sistema y las soluciones analíticas o numéricas.

Los objetivos son:

• Profundizar la relación entre las matemáticas y la ingeniería biomédica específicamente los conceptos del álgebra lineal y de las ecuaciones diferenciales.

• Desarrollar en los estudiantes una estructura l ógica del pensamiento para aplicarla en la resolución de problemas de ingeniería biomédica y para poder comunicarse de una manera coherente en forma oral y escrita.

• Desarrollar en el estudiante el gusto por los temas matemáticos y una sensibilidad hacia la belleza matemática que presentan los temas en sí mismos.

Este curso es un primer acercamiento a la teoría de los sistemas dinámicos diferenciales, cuya relevancia radica en su gran número de aplicaciones.

El objetivo principal de este curso es introducir los conceptos básicos de la belleza del tema de la geometría diferencial a través del ejemplo de curvas y superficies, usando el cálculo y el álgebra lineal como las principales herramientas. Muchos de los métodos interesantes son desarrollados para capturar las propiedades locales y globales de curvas y superficies.

El curso lo podemos dividir en dos, siendo la primera la probabilista y la segunda estadística inferencial. En la primera parte del curso el objetivo es familiarizar al estudiante con procesos no determinísticos, es decir con aquellos procesos con los cuales al ser realizados una vez no sabemos su resultado, pero si cuales pueden ser todos los posibles resultados. Para ello al estudiante se le introduce en la teoría básica de probabilidad desde un enfoque axiomático, haciendo parte de esto los diferentes tipos de variables. En la segunda parte del curso el objetivo es dotar al estudiante de herramientas que le permitan a partir de una muestra aleatoria por inferir, concluir, etc., acerca de la población. Es por eso que se busca la familiarización del estudiantes con los conceptos de: distribuciones muéstrales, estimación, prueba de hipótesis, entre otros. Un objetivo no menos importante es el inicio del estudiante en el manejo del paquete estadístico STATA y EXCEL, con el objetivo de aplicar los conceptos vistos en clase, ya que serán de gran importancia en su curso de Econometría.  

En este curso se dan inicialmente unos conceptos básicos de probabilidad, pero está orientado a enseñar técnicas estadísticas básicas con énfasis en las aplicaciones. El texto del curso está orientado a las aplicaciones y hace uso de bases de datos reales, por lo que el curso también irá acompañado de software estadístico. El texto tiene una separata con un contenido matemático más formal, que el profesor usará convenientemente y que puede motivar al estudiante al estudio de material estadístico más avanzado.

Este curso se ha diseñado para estudiantes de economía, con una intensidad de cuatro horas y media por semana, en el que se tratan diversos temas de Inferencia estadística, que serán de gran aplicabilidad en cursos posteriores como econometría e investigación de mercados.

Objetivos de la asignatura
Dado que en la gran mayoría de casos no es posible conocer toda la información de la población, al finalizar el curso con la ayuda de las herramientas vistas en clase pueda inferir, dar recomendaciones para la población a partir de una muestra aleatoria.

Contenido del curso:
Espacios de probabilidad. Conteo, permutaciones, combinaciones, coeficientes multinomiales, espacio muestral, eventos, axiomas de probabilidad, eventos igualmente probables, probabilidad como función continua, como medida de credibilidad,  probabilidad condicional, fórmula de Bayes, eventos independientes, P(.|F) es una probabilidad, variables aleatorias (v.a), discretas, valor esperado, esperanza de una función de v.a, varianza, Bernoulli y Binomial, Poisson, otras discretas, Función de distribución acumulada, variables aleatorias continuas, esperanza y varianza, Uniforme, Normal, Exponencial, Otras continuas, Distribución de una función de una variable aleatoria, distribuciones conjuntas, variables aleatorias independientes, suma de v.a. independientes, distribución condicional, estadísticos de orden, Probabilidad conjunta de función de variable aleatoria, esperanza de sumas, momentos del número de eventos, covarianza, correlaciones, esperanza condicional, y predicción, Función generadora de momentos, Normal multivariada, Ley débil de los grande números, Teorema del límite central, Ley fuerte de los grandes números.

El enfoque es enseñar técnicas estadísticas básicas con énfasis en las aplicaciones. El texto del curso está  orientado a las aplicaciones y hace uso de bases de datos reales, por lo que el curso también irá acompañado de software estadístico. El texto tiene una separata con un contenido matemático más formal, que el profesor usará convenientemente y que puede motivar al estudiante al estudio de material estadístico más avanzado.

Varios problemas de la vida real se modelan usando ecuaciones algebraicas o diferenciales. El matemático que resuelve estos problemas debe asegurarse que la solución existe. Pero en muchos casos (casi todos) es imposible encontrar tal solución. Justamente el análisis numérico consiste en encontrar aproximaciones a dichas soluciones. Contenidos: Interpolación. Integración numérica. Calculo matricial. Normas vectoriales y matriciales. Resolución directa de sistemas lineales. Métodos iterativos. Métodos basados en optimización. Ecuaciones con derivadas parciales: diferencias finitas y elementos finitos.

Es el último curso que ofrece matemáticas a los estudiantes de economía. En él se pretende aplicar los diferentes temas de los cursos vistos previamente, en la solución de problemas de maximización estática y dinámica. Este curso se ha diseñado para estudiantes de pregrado de economía, teniendo en cuenta que también es tomado por estudiantes que han decidido hacer doble programa con economía y también para aquellos que ingresan a la maestría en economía PEG y que la facultad de Economía les ha sugerido tomar como parte de la nivelación.

Objetivos de la asignatura:
Solucionar problemas de maximización, minimización. Dar las herramientas necesarias para que el estudiante al final del curso esté en capacidad de analizar los diferentes tipos de funciones en varias variables,conocer sus dominios, rangos, máximos, mínimos, con o sin restricciones, haciendo énfasis en las aplicaciones
económicas.

El curso consiste de tres partes:

Portafolios óptimos y teoría de mercado de capitales
Cálculo estocástico y valoración de derviados
Valoración de activos mediante el modelo binomial

El objetivo de este curso es familiarizar a los estudiantes con modelos matemáticos aplicables a las ciencias sociales y naturales. Se verán modelos de crecimiento e interacción de poblaciones: la ecuación logística, competencia de especies (ecuación de Lotka-Volterra), modelo predador-presa, modelos epidemiológicos. Se incluirá una introducción a sistemas dinámicos.

Este curso se trata del estudio matemático de algunos aspectos del aprendizaje de máquinas (machine learning). Esta rama de la inteligencia artificial investiga la posibilidad de crear algoritmos que “aprenden” a generar buenas hipótesis que generalizan muestras finitas, por ejemplo para clasificar data en categorías determinadas o hacer pronósticos basados en datos históricos.
Analizaremos los marcos teóricos para el aprendizaje de máquinas con el fin de dar respuestas a preguntas como: ¿Cuáles conceptos son más fáciles a aprender por un algoritmo (o más difíciles), y cómo se puede relacionar esto con medidas de la complejidad combinatórica de la familia de conceptos? ¿Bajo cuáles condiciones se puede decir que un algoritmo de aprendizaje convergirá a una respuesta aproximadamente correcta? ¿Qué es una “red neuronal” y cómo funciona?

En este curso no se aprenderá a implementar algoritmos de aprendizaje (por ejemplo, con programación en Python) sino a entender la teoría matemática subyacente.

No asumiremos ninguna experiencia previa con la programación. Conocimiento de conceptos estadísticos tampoco es necesario; desarrollaremos un poco de la teoría de probabilidad en el curso para poder analizar los algoritmos.

Asistencia y participación activa en un seminario regular del Departamento.

Se trata de estudiar, un tema en el área de interés del estudiante. Las sesiones serán coordinadas por el profesor y el estudiante participa activamente en éste.

La primera parte de la clase se concentra en el estudio de anillos y módulos sobre anillos con énfasis en los anillos de polinomios.  La segunda parte se concentra en campos y teoría de Galois. Mostramos como algunas preguntas clásicas sobre la solvabilidad de polinomios y construcciones con regla y compás se traducen a problemas de extensiones de cuerpos y probamos la insolubilidad de la quíntica. Probamos la correspondencia de Galois y calculamos el grupo de Galois de un polinomio de cuarto grado. Estudiamos campos finitos, extensiones algebraicas y trascendentes y clasificamos campos algebraicamente cerrados.

Este será un curso introductorio estándar en teoría algebraica de números. La idea es estudiar las propiedades aritméticas del anillo de enteros de un cuerpo de números—este anillo juega el papel de los enteros, como sub-anillo de los racionales, dentro del campo de números. Ejemplos específicos de lo que estudiaremos son los ideales primos de estos anillos, sus grupos de unidades, sus propiedades de ramificación y sus funciones zeta.

Comenzaremos con el estudio de politopos convexos y sus propiedades, junto con muchos ejemplos. Luego veremos grupos de reflexiones, en donde se introducirán ejemplos en geometrías no euclidianas, y diversos grupos de simetrías y teselaciones. Terminaremos hablando de superficies discretas, mencionando versiones discretas de temas de geometría diferencial, como curvaturas y superficies minimales.

Es un curso sobre los determinantes y como se les entiende esquemáticamente en el contexto de fenómenos planar y non-crossing. También vamos introducir y estudiar los clúster álgebras - un concepto que se desarrolló, en parte, para ayudar a analizar las identidades algebraicas y unas fórmulas para las expansiones determinantales (y expansiones de los objetos que se comportan como los determinantes).

Este curso es una introducción con énfasis matemático a la lógica. El contenido mínimo del curso incluye el estudio del cálculo de proposiciones y de predicados: simbolización, sintaxis, semántica, deducción formal, teoremas de validez y completitud para estos cálculos. Se da una introducción a calculabilidad: funciones recursivas, funciones Turing-calculables, equivalencia entre ellas. Se estudian algunas relaciones entre calculabilidad y propiedades formales de los cálculos lógicos estudiados.

En éste curso pretendemos presentar una introducción a los temas más importantes de la Lógica Matemática como son: el teorema de completitud para la lógica de primer orden y el teorema de incompletitud de Gödel de la aritmética formal. El segundo tema que abordaremos será la teoría axiomática de conjuntos de Zermelo – Frenkel con el axioma de escogencia, ordinales, cardinales y aritmética cardinal. Finalmente haremos una introducción a la teoría de modelos.

En este curso opcional de pregrado en matemáticas el estudiante obtendrá los fundamentos de la teoría de lógicas modales proposicionales desde la perspectiva de la semántica relacional (modelos de Kripke). Estos fundamentos incluyen técnicas básicas de demostración, teoremas de correspondencia, resultados de decidibilidad y ejemplos de aplicaciones a otras disciplinas. Si el tiempo y los intereses de los estudiantes lo permiten, el curso incluye también una introducción a la lógica proposicional intuicionista, que si bien no es una lógica modal, es cercana a éstas en varios aspectos. La inclusión de este tema permite que el estudiante se familiarice con la noción y uso del álgebra de Lindenbaum asociada a un lenguaje lógico.

Una estructura o-minimal es un conjunto linealmente ordenado dotado con estructura adicional (por ejemplo, de un anillo o campo, o con aún más operaciones) tal que todos sus subconjuntos definibles son uniones finitas de puntos y intervalos. Aquí “definible” quiere decir en el lenguaje de la lógica del primer orden, que tiene símbolos para la igualdad, las operaciones booleanas, y cuantificadores (“para todo” y “existe algún”). Resulta que el campo de los números reales es o-mimal, y que sigue siéndolo aún si agregamos algunas operaciones tales como la exponenciación. En cierto sentido, la estudia de estructuras o-minimales es una generalización de la geometría sobre los reales.

Las “variedades” o subconjuntos definibles de R^n en una estructura o-minimal (R, <, …) poseen una bonita teoría de dimensión y son dóciles en un sentido topológico. Por ejemplo, se puede descomponerlos en un número finito de células (gráficas y regiones entre gráficas de funciones continuas) y tienen triangulaciones. Durante las últimas décadas el concepto de o-minimalidad ha tenido aplicaciones fascinantes a la geometría algebraica, como la demostración de Jonathan Pila de la conjetura de André-Oort para productos de curvas modulares.

Esta clase está dividida en dos partes:
1. Ordinales y cardinales: En ésta parte vamos a cubrir nociones básicas de la teoría de conjuntos como ordinales, cardinales, aritmética de ordinales y de cardinales y la topología del orden en los ordinales. En particular vamos a estudiar conjuntos de ordinales cerrados y no acotados (clubs). y el axioma de elección.
2. Teoría descriptiva de conjuntos: La segunda parte de la clase se va a concentrar en teoría descriptiva de conjuntos. Los temas incluyen conjuntos de Borel, espacios polacos, teorema de categoría de Baire, grupos polacos, acciones de grupos polacos, relaciones de equivalencia de Borel.

Este curso tiene dos objetivos principales. Uno es introducir la técnica del forcing para producir pruebas de consistencia relativa con los axiomas de la teoría de conjuntos; en particular se demostrará que la Hipótesis del Continuo es independiente de ZFC. El otro objetivo es estudiar algunas aplicaciones de la teoría de conjuntos a otras ramas de la matemática, en especial la topología y el análisis.

This is a first course in Information Theory. This course builds on material developed in a basic probability course, but the most impor-
tant requirement is mathematical maturity. The course has two explicit goals, namely to answer the following two (related) questions:
1. How efficiently can data be compressed?
2. How efficiently can data be transmitted in the presence of noise?
At the end of the course, students will have the mathematical tools to answer the above questions, as well as have a general understanding of the mathematics underpinning modern communications systems. More specifically, the main ideas we hope to cover during the course are entropy and mutual information of random variables, data compression, coding theory, and channel capacity.

Este es un curso de matemáticas donde se trata de modelos probabilísticos de riesgo en el área de seguros.
Se espera que los estudiantes asistan a las clases y trabajen en los talleres.

Objetivos de la asignatura y competencias a desarrollar son:

• exponer temas de probabilidad, procesos estochasticos y estadistica pertinentes para modelización de riesgos de aseguradoras
• fortalecer la capacidad de calculo teórico y practico adquirido en cursos de calculo integral y probabilidad

MATE-3135 is an upper-level undergraduate elective, MATE-4135 is a graduate elective mathematics course, meeting twice a week for two hours each time. The course language is English.

This class is an introductory class to the theory of large deviations. In a first part motivate the edifice of large deviations theory mainly in finite spaces in several examples, where it turns out to extremely useful. Applications are finite type convergence, Markov chains with finite states, etc. In a second part we shall study general Large deviations principle, and their applications to dynamical systems perturbed by Brownian motion, known as Freidlin-Wentzell theory, the asymptotic first exit time and locus. The class will be taught in English.

En este curso introduciremos conceptos y técnicas de la teoría de representaciones de grupos finitos enfatizando en la teoría de representaciones del grupo simétrico. Nuestra travesía tambien incluirá algoritmos combinatorios relevantes a ésta teoría y (si el tiempo lo permite) habrán funciones simétricas.

Si usted cree en la existencia de un cierto tipo de objeto en la teoría de grafos o la ombinatoria pero no puede construirlo, ¿que haría? Erdos y Renyi introdujeron el siguiente método poderoso: demostrar que bajo una buena selección de los parámetros, un objeto aleatorio tiene las propiedades deseadas con probabilidad mayor que cero. Veremos una variedad de aplicaciones de este método y desarrollaremos las requisitas herramientas probabílísticas durante el curso.

La teoría de modelos es una rama de la lógica matemática que tiene muchas aplicaciones al álgebra.

En este curso estudiaremos algunas de estas aplicaciones, principalmente en los cuerpos finitos y pseudofinitos. Nos enfocaremos en las principales propiedades modelo teóricas de estos cuerpos y analizaremos la relación que hay entre estas y ciertas características algebraicas.

La teoría de representaciones de las álgebras de Lie, es un tema central en matemáticas, que tiene numerosas aplicaciones a otras ramas de las matemáticas (geometría, teoría de números, combinatoria, topología... ) así como en la física teórica (sistemas cuánticos integrables, teoría cuántica de campos, reglas de fusión,...)
El objetivo del curso es: primero dar una introducción a las nociones y útiles en la teoría clásica de álgebras de Lie semisimples y segundo estudiar algunas generalizaciones (álgebras de Kac-Moody, álgebra de Virasoro) y algunas aplicaciones.

Representation theory of Lie algebras is a central subject in mathematics, which has several applications to other branches of mathematics (geometry, number theory, combinatorics, topology,...) as well as in theoretical physics (quantum integrable systems, QFT, fusion rules,…)
The aim of the course is: firstly to give an introduction to the notions and tools in the classical theory of semisimple Lie algebras and secondly to study some generalizations (Kac-Moody algebras, Virasoro algebra) and some applications.

El curso pretende abordar los conceptos básicos de la teoría de representaciones en el contexto de grupos finitos y en particular el grupo simétrico. Representaciones de grupos finitos, caracteres, semi-simplicidad, Lema de Schur, el anillo del grupo, el grupo simétrico, diagramas de Young, modulos de Weyl y de Specht. Dualidad de Schur-Weyl.

Este curso es una introducción a los aspectos computacionales y aplicados de la geometría algebraica. Estudiaremos la teoría de variedades afines y proyectivas y además la teoría de bases de Groebner. Obtendremos una idea de cómo funcionan los sistemas de álgebra computacional para procesar los cálculos del álgebra de polinomios.

El propósito del curso es hacer una introducción a los métodos algorítmicos en geometría algebraica (bases de Grobner, series de Hilbert, etc.) en el contexto de anillos con acciones de grupos finitos o más generalmente reductivos (polinomios simétricos). Nos enfocaremos en el cálculo algorítmico de anillos de invariantes. Estas técnicas son de interés tanto en matemáticas puras como aplicadas.

El curso presenta, con una aproximación matemática, los avances recientes más importantes en criptografía, necesarios para resolver problemas en aplicaciones avanzadas. Cubre los prerrequisitos básicos de álgebra (por ejemplo: campos de Galois y curvas elípticas), presenta las definiciones modernas de seguridad y el objetivo principal es presentar protocolos avanzados para cumplir requisitos de privacidad o de trust particulares. El curso no presenta en detalle algunos temas "viejos" de criptografía, como DES, block ciphers, modos de operación; funciones de hash, MACs, funciones de derivación, ni tampoco miramos la programación misma de algoritmos. 

El curso es una introducción a la teoría de los cardinales grandes. Incluirá las definiciones y propiedades principales de varios conceptos de gran cardinalidad originados por ideas muy diversas pero que calzan muy bien en una jerarquía que los hace comparables. Presentaremos cardinales grandes definidos mediante nociones de aritmética de cardinales, mediante propiedades combinatorias, mediante nociones de medida, nociones de compacidad de lenguajes y mediante inmersiones elementales.

El curso se divide en tres partes:
1) Principios del conteo;
2) Teor´ıa de grafos;
3) Combinatoria y acciones de grupo.

This course will be an introduction to Algebraic Coding Theory. Coding is an algebraic approach to adding redundancy to data, which allows us to correct for errors and erasures due to noisy environments. While originally motivated by the need for efficient data transmission, Coding Theory has also found applications more recently in
data storage, information retrieval, and cryptography, which we will cover towards the end of the course.

We will use a number of algebraic tools, and students are expected to have an excellent command of linear algebra. We will use some basics about finite fields as well, and later in the course even some tools from Algebraic Geometry and possibly Algebraic Number Theory. The background from these latter more advanced subjects will be provided as is needed, and no familiarity with them will be assumed. Overall, motivated students who have taken Abstract
Algebra I should have a good enough background to do well in the course.

Este curso está dirigido a estudiantes de matemáticas y estudiantes de otras ciencias que quieran usar la teoría de grupos en su carrera. Profundizaremos y extenderemos las ideas y construcciones que aparecen en el curso Álgebra Abstracta I para estudiar grupos de permutaciones y sus aplicaciones en la combinatoria y en la teoría de representaciones.

Contenido del curso:
Construcciones y estructura del grupo de permutaciones S_n y sus subgrupos, órbitas y estabilizadores, transitividad y k-transitividad, productos semidirectos y productos de corona, grupos primitivos y imprimitivos, permutaciones de conjuntos infinitos, y representaciones y caracteres de S_n.

Este será un curso introductorio en geometría algebraica. En este curso estudiaremos variedades algebraicas, variedades proyectivas, y funciones entre ellas. Se establecerá un diccionario entre la geometría y el álgebra. Aprenderemos toda el álgebra conmutativa necesaria para poder desarrollar la geometría.

El quinto problema de Hilbert afirma que todo grupo topológico localmente euclideano es un grupo de Lie.

Este problema fue solucionado cuando Montgomery y Zippin y Gleason, y la demostración incluye entender de manera profunda la estructura de los grupos topológicos localmente compactos y en particular su relación con grupos de Lie.

La demostración de este teorema requiere desarrollar propiedades algebraicas y geométricas de los grupos de Lie y sus álgebras (fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff, entender teoremas de representación de grupos de Lie compactos (Peter-Weyl) y combinarlo con teoremas topológicos de metrización y compacidad. Es una relación fascinante entre diversas áreas de matemáticas con aplicaciones sorprendentes como el Teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinomial.

El objetivo de la teoría de la complejidad computacional es clasificar problemas computacionales por la cantidad de recursos necesaria para resolverlos. La teoría tiene conexiones con varias áreas de matemáticas como la teoría de grafos, probabilidad, y álgebra abstracta.

La “Paradoja de Banach-Tarski” dice que uno puede partir la esfera unitaria en R^3 en cuatro subconjuntos, que después de usar movimientos rígidos en el espacio euclídeo se reacomodan para formar dos esferas idénticas a la original. Este resultado es en sí mismo sorprendente, pero al resolver preguntas naturales como ¿Por qué no se puede hacer en el plano? y qué hay detrás de la paradoja, llevaron al descubrimiento y relación de conceptos importantes en teoría de grupos como “amenability”, propiedad T de Kazshdan, y aplicaciones muy interesantes de matemáticos como Gromov, Margullis y Tits. En este curso analizamos la “paradoja” y los elementos de su demostración, cómo nos conlleva a la noción de grupos “amenable”, la ausencia de la paradoja en dimensiones menores y consecuencias de “amenable” sobre condiciones de crecimiento y la propiedad T de Kazhdan.

Este curso se centra en el estudio de los automorfismos  del espacio de Lebesgue (el intervalo [0,1] con la sigma algebra de Lebesgue y la medida usual) que preservan la medida.

El análisis complejo es la teoría de funciones analíticas en el plano complejo. Es una teoría muy clásica que comenzó con los trabajos de Cauchy, Riemann y Weierstrass. Desde sus comienzos los resultados se usan cotidianamente en muchos áreas de matemáticas. En contraste a la materia “Variable compleja”, en este curso se tratan los temas básicas de la teoría del análisis complejo rigurosamente.

El curso tiene como propósito la presentación teórica de las ecuaciones básicas de la física matemática tales como las ecuaciones de Laplace y Poisson, las ecuaciones de transmisión de calor y de onda, los sistemas de ecuaciones en derivadas parciales de tipo Navier-Stokes y similares. Una de las características del curso es la deducción detallada de todos los resultados con demostraciones. El curso tiene un énfasis teórico y es orientado principalmente a los estudiantes de las carreras de matemáticas y de física, aunque también puede ser útil para los estudiantes de ingeniería que están interesados en una avanzada base teórica.

Análisis Asintótico desarrolla más adelante el método de series de potencias ya conocido, por ejemplo, de ecuaciones diferenciales. En el presente curso, el concepto de series asintóticas divergentes se introduce rigurosamente, y también se discute el origen principal de tales series – la integral de Laplace. Se estudiarán varias aplicaciones a los problemas de física matemática (funciones especiales, la teoría de funciones generalizadas).

La geometría Riemanniana ha sido una de las áreas más importantes de las matemáticas desde su inicio, en el siglo XIX, y sus aplicaciones en física teórica (en relatividad general, en particular) revolucionaron nuestra concepción del mundo. El curso que se presenta a continuación tiene como objetivo introducir las ideas fundamentales y las herramientas básicas de la geometría Riemanniana, presentando al mismo tiempo los resultados más importantes en el área y algunas de sus aplicaciones (clásicas y recientes) en el estudio de la topología de variedades diferenciales.

Contenido del curso:
Introducción a las variedades: Topología general.Variedades topológicas. Funciones de varias variables: Diferenciabilidad de funciones de varias variables. Diferenciabilidad de funciones de R^n en R^m. Espacio de vectores tangentes a un punto en R^n. Otra definición de Ta (R^n). Campos vectoriales de subconjuntos abiertos de R^n. El Teorema de la Función Inversa. El rango de una función. Variedades diferenciables y subvariedades: Definición de variedad diferenciable. Funciones diferenciables entre variedades. Rango de una función. Inmersiones. Subvariedades. Campos vectoriales en una variedad: El espacio tangente en un punto a una variedad. Campos vectoriales. Tensores y campos tensoriales en variedades: Covectores tangentes. Formas bilineales. Campos tensoriales. Multiplicación de tensores. Derivada exterior. Integración en variedades. Integración en variedades. Variedades con borde. El Teorema de Stokes.

Las variedades tóricas son objetos en la interseccion entre combinatoria, teoría de representaciones y geometría algebraica (formalmente se definen como “clausuras” del grupo algebraico (C^*)^n). Son además una manera muy concreta de aprender geometría algebraica y un área de investigación actual muy activa. El propósito de este curso es familiarizar al estudiante con las definiciones y propiedades principales de este tipo de variedades y desarrollar la capacidad de calcular en ejemplos concretos.

Se introducen la herramientas básicas para el estudio de la geometría de variedades con una métrica de Lorentz. Se estudiará además, con miras en sus aplicaciones a la física, la estructura causal en dicha geometría.

La topología es la rama de las matemáticas dedicada al estudio de las propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por deformaciones continuas. La disciplina origina como una formalización y generalización de conceptos, tales como límite y transformación continua que aparecen en análisis y en geometría. En el curso se da una presentación básica a los conceptos de esta disciplina.

En este curso, se usarán las formas diferenciales como una herramienta para el estudio de algunos aspectos centrales de la topología algebraica tales como teorías cohomológicas, dualidad de Poincaré, el isomorfismo de Thom, etc. Nos limitaremos a la categoría de las variedades diferenciables, principalmente. Las técnicas usadas son útiles para entender algunos de los aspectos más importantes de la topología algebraica, como sucesiones espectrales, clases características, geometría compleja, etc.

El análisis topológico de datos es una nueva herramienta para hacer análisis exploratorio de datos. Su propósito es extraer información basada en la estructura subyacente de los datos. Muchos de estos datos se representan como puntos en un espacio de alta dimensión, pero posiblemente están concentrados alrededor de estructuras geométricas de baja dimensión.
El objetivo del curso es familiarizar a los estudiantes con estos nuevos métodos.

Topological Data Analysis (TDA) is a new tool in exploratory data analysis and data mining. It aims to extract underlying structures of the data. Many such data come in the form of point clouds, living in high-dimensional spaces, but possibly concentrated around low-dimensional geometric structures.
The objective of this course is to familiarize the students with these new methods.

El objetivo de este curso es introducir la teoría básica de grupos de Lie, álgebras de Lie y los fundamentos de la teoría de representaciones asociada, con el objeto de estudiar la geometría de espacios homogéneos, i.e. espacios que son cocientes de grupos de Lie por subgrupos cerrados.

Los haces vectoriales y en forma más general los haces fibrados juegan un papel importante en las matemáticas y la física matemática. La noción de haz vectorial surge al estudiar las variedades diferenciables y alrededor de la mitad del siglo pasado se desarrolló la teoría de clases características para su estudio. El curso abordará las construcciones de haces fibrados, haces vectoriales, sus propiedades topológicas y aplicaciones.

El alumno será capaz de manejar los principales modelos de la teoría moderna de procesos estocásticos y sus aplicaciones. Cadenas de Markov: Definiciones y ejemplos. Construcción y propiedades.  Clasificación de estados y de cadenas. Cadenas de Markov contables.  Teoremas del Límite. Distribución estacionaria. Cadenas de Markov finitas. Procesos de Renovación:   Ecuación de Renovación. Leyes de números grandes. Edad y vida residual. Procesos puntuales: Generalizaciones de los procesos de Poisson. Proceso no homogéneo. Procesos Compuestos de Poisson. Movimiento Browniano: Preliminares. Características simples del movimiento browniano estándar. Variaciones en el movimiento browniano. Principio de reflexión. Puente Browniano.

Este curso es una introducción a las teorías de la dinámica estocástica, es decir las herramientas y resultados para entender el comportamiento de procesos estocásticos a lo largo del tiempo en diferentes contextos, como familias i.i.d. de variables aleatorias independientes, cadenas de Markov, sistemas dinámicos aleatórios, procesos estacionarios, y ecuaciones diferenciales estocásticas simples.

Métodos de estimación: puntual por intervalos de confianza. Métodos de los momentos, mínimos cuadrados, máxima verosimilitud. Teoría de optimalidad: Criterios de estimación, UMVU, la información. Estimadores consistentes, distribución asintótica, estimadores eficientes, insesgasdos. Intervalos de confianza y Pruebas de hipótesis. Lema de Neyman- Pearson. Razón de verosimilitud. Pruebas de ajuste, tablas de contingencia. Modelos lineales, Teorema de Gauss- Markov, Pruebas en modelos lineales.

Introducir al estudiante a las principales ideas y técnicas de la Estadística No Paramétrica, de manera de que pueda manejar tanto los aspectos teóricos del tema como los aspectos computacionales y sea capaz de seleccionar procedimientos no paramétricos adecuados para diversos problemas de la estadística e implementarlos eficientemente en la computadora, incluso en situaciones no estándar. Asimismo, exponer al estudiante a las diversas técnicas de remuestreo disponibles en la estadística moderna, haciéndolo consciente de las posibilidades y limitaciones de este tipo de procedimiento. El curso requiere un curso previo en Estadística y cierta madurez matemática, para manejar ideas tales como el Teorema del Límite Central para U-Estadísticos, por ejemplo.

Este curso es una introducción a la teoría de procesos estocásticos en tiempo continuo con énfasis en el papel central que juega el movimiento Browniano. Se presentarán algunas aplicaciones en física y en finanzas.

Este curso es una introducción a la teoría de procesos estocásticos en tiempo continuo con énfasis en el papel central que juega el movimiento Browniano y sus generalizaciones naturales, los procesos de Lévy. Se presentarán algunas aplicaciones en biología y física.

El curso se enfoca en presentar la teoría necesaria para modelar y resolver problemas de optimización convexa, buscando siempre incluir ejemplos en el análisis de datos, donde estos problemas surgen.

Curso introductorio a las matemáticas financieras con dos ejes principales: Valoración de derivados y medida neutral al riesgo y optimización de portafolios.

Este curso busca formalizar el pensamiento estratégico  para la toma de decisiones en problemas que involucran interacciones entre agentes. Está dirigido a estudiantes que no sólo valoran el rigor formal en la formulación y análisis de los problemas, sino que también están interesados en la relación entre teoría y las aplicaciones. En el curso se desarrollan los conceptos relacionados con los juegos no cooperativos, cooperativos y evolutivos. Se analizan formalmente las ideas de racionalidad y equilibrio en juegos de diferente naturaleza, teniendo en cuenta la presencia de incertidumbre y utilizando diferentes métodos de solución. Se estudian aplicaciones en economía, finanzas, elección social, biología, ingeniería y redes, entre otras disciplinas.

Para resolver muchos problemas comunes se requiere encontrar una solución óptima en un espacio de soluciones muy grande, pero finito. La optimización combinatoria investiga algoritmos efectivos para resolver estos problemas, mediante el estudio de la estructura de sus espacios de soluciones. Aunque muchos problemas prácticos parecen ser bastante complicados (NP-completos), hay bastantes problemas que pueden ser resueltos por algoritmos efectivos (de tiempo polinomial).

Este curso intentará darles a los estudiantes un buen entendimiento de los aspectos teóricos de la programación lineal, varias nociones y algoritmos fundamentales de la teoría de grafos, y un sentido de la importancia de las pruebas constructivas en las matemáticas finitas. 

El curso busca presentar de una forma unificada los aspectos más importantes de la teoría de control y la teoría de control óptimo. Se expondrán también el uso reciente de técnicas de optimización aplicadas a control.

Un problema típico de la teoría de colas es la siguiente: Suponga que el banco tiene un solo cajero adonde llegan los clientes en momentos aleatorios, en promedio n clientes por hora. Suponga que el tiempo que se demora el cajero en atender a un cliente es una variable aleatoria que tiene una distribución normal con media M y desviación estandar s.  En promedio, cuanto tiempo tiene que esperar un cliente en la cola? –  Se discutirán variantes y generalizaciones de este problema en el curso. 

El curso es una introducción a la programación lineal y sus extensiones, enfatizando la estructura matemática que la soporta, ideas geométricas, algoritmos y soluciones de problemas prácticos.

Entrenamiento en metodología de la enseñanza. Prácticas de micro-enseñanza sobre manejo de preguntas, uso de tablero y sesión de diagnóstico. Instrucciones previas a cada clase, observaciones sobre su desarrollo, elaboración de exámenes. El estudiante dicta una sección de problemas de una magistral bajo la dirección de un profesor del Departamento.

Se le ofrece al estudiante el apoyo necesario y un espacio que le permita aprender a enseñar matemáticas, desde la práctica de esta actividad, en una sección complementaria de problemas, bajo la tutoría del profesor de la clase magistral. Además los practicantes tienen el apoyo del director de práctica y un seminario en el que intercambian sus experiencias y se hacen reflexiones teóricas y tareas acerca de la didáctica de las matemáticas.

Elaboración de un trabajo escrito en un área específica de las matemáticas, en el cual se demuestre capacidad para la investigación y para la exposición de un tema con todos los requisitos de claridad, corrección y estilo apropiado.

En el curso se explica la metodología para encontrar temas de investigación en el área de las Matemáticas.

En este curso los estudiantes asisten al Coloquio de nuestro departamento para poder de esta forma conocer temas avanzados de investigación que podrían ser el objeto de un proyecto de grado. Al final del curso los estudiantes tienen que escoger un tema de proyecto de grado y escribir una propuesta de trabajo aprobada por un profesor de planta del departamento. El Coloquio puede ser reemplazado por la asistencia y participación activa en un seminario regular del Departamento.

 

Este curso lo deben inscribir los estudiantes de pregrado que planean recibir su grado el semestre siguiente.

Es la práctica que se realiza en una empresa, de tiempo complete.  El estudiante solo podrá inscribir este curso durante el semestre de la práctica.  Puede reemplazar una práctica docente.

Se trata de estudiar, un tema avanzado en el área de especialización del estudiante. Las sesiones serán coordinadas por el profesor y el estudiante participa activamente en éste.

Se trata de estudiar, un tema avanzado en el área de especialización del estudiante. Las sesiones serán coordinadas por el profesor y el estudiante participa activamente en éste.

Se trata de estudiar, un tema avanzado en el área de especialización del estudiante. Las sesiones serán coordinadas por el profesor y el estudiante participa activamente en éste.

Este curso de verano cubre técnicas de programación funcional, utilizando Haskell como vehículo para entender la relación entre programación funcional y matemáticas constructivas y algunos de los recientes avances en teoría y aplicaciones.

Este curso es una introducción a las herramientas matemáticas fundamentales para el modelamiento. Se busca familiarizar a los estudiantes, que vienen de una carrera en la que se usa poco la matemática, con conceptos de los cursos del ciclo de matemáticas de las ingenierías que se usan en modelos determinísticos.

El contenido del curso incluye los siguientes temas: Anillos e Ideales. Módulos. Anillos y módulos de fracciones. Descomposición primaria. Dependencia entera y Valoraciones. Condiciones de cadena. Anillos noetherianos. Anillos de Artin. Anillos de valoración discreta y dominios de Dedekind. Completaciones. Teoría de la dimensión y si queda tiempo, otros temas que el instructor considere apropiados.

Este será un curso introductorio estándar en teoría algebráica de números. La idea es estudiar las propiedades aritméticas del anillo de enteros de un cuerpo de números—este anillo juega el papel de los enteros, como sub-anillo de los racionales, dentro del campo de números. Ejemplos específicos de lo que estudiaremos son los ideales primos de estos anillos, sus grupos de unidades, sus propiedades de ramificación y sus funciones zeta.

El contenido del curso incluye los siguientes temas, que son expuestos esencialmente en el orden descrito:
1) Teoría de grupos: subgrupos y grupos cociente, acciones de grupos en conjunto y teoremas de Sylow. El teorema de estructura de grupos abelianos finitamente generados. Ejemplos centrales: grupos cíclicos, alternantes, simétricos y dihedrales. Los tres teoremas de isomorfismo de Noether.
2) Álgebra lineal: espacios vectoriales, aplicaciones lineales, determinantes, diagonalización, forma de Jordan.
3) Anillos: ideales (a izquierda y a derecha), anillos cociente, tres teoremas del isomorfismo de Noether. Ejemplos centrales: anillos polinomiales en una o varias variables, matrices, DIPs.
4) Campos: extensiones de campos, extensiones algebraicas, extensiones trascendentes, clausura algebraica, explicación del porqué el álgebra lineal funciona mejor sobre campos algebraícamente cerrados y explicación de cómo pasar a uno de ellos. Ejemplos centrlaes: Q, R, C y el campo de q elementos.
5) Módulos: submódulos, módulos cociente (caso especial: espacio vectorial dual y espacio vectorial cociente). Tres teoremas de isomorfismo de Noether. Teoremas de estructura para módulos sobre DIPs (corolario: forma canónica de Jordan y teorema de estructura para grupos abelianos). Ejemplos centrales: módulos sobre los anillos explicados anteriormente.

Es un curso sobre los determinantes y como se les entiende esquemáticamente en el contexto de fenómenos planar y non-crossing. También vamos introducir y estudiar los clúster álgebras - un concepto que se desarrolló, en parte, para ayudar a analizar las identidades algebraicas y unas fórmulas para las expansiones determinantales (y expansiones de los objetos que se comportan como los determinantes).

En éste curso pretendemos presentar una introducción a los temas más importantes de la Lógica Matemática como son: el teoremas de completitud para la lógica de primer orden y el teorema de incompletitud de Gödel de la aritmética formal. El segundo tema que abordaremos será la teoría axiomática de conjuntos de Zermelo – Frenkel con el axioma de escogencia, ordinales, cardinales y aritmética cardinal. Finalmente haremos una introducción a la teoría de modelos.

Una estructura o-minimal es un conjunto linealmente ordenado dotado con estructura adicional (por ejemplo, de un anillo o campo, o con aún más operaciones) tal que todos sus subconjuntos definibles son uniones finitas de puntos y intervalos. Aquí “definible” quiere decir en el lenguaje de la lógica del primer orden, que tiene símbolos para la igualdad, las operaciones booleanas, y cuantificadores (“para todo” y “existe algún”). Resulta que el campo de los números reales es o-mimal, y que sigue siéndolo aún si agregamos algunas operaciones tales como la exponenciación. En cierto sentido, la estudia de estructuras o-minimales es una generalización de la geometría sobre los reales.

Las “variedades” o subconjuntos definibles de R^n en una estructura o-minimal (R, <, …) poseen una bonita teoría de dimensión y son dóciles en un sentido topológico. Por ejemplo, se puede descomponerlos en un número finito de células (gráficas y regiones entre gráficas de funciones continuas) y tienen triangulaciones. Durante las últimas décadas el concepto de o-minimalidad ha tenido aplicaciones fascinantes a la geometría algebraica, como la demostración de Jonathan Pila de la conjetura de André-Oort para productos de curvas modulares.

Este curso tiene dos objetivos principales. Uno es introducir la técnica del forcing para producir pruebas de consistencia relativa con los axiomas de la teoría de conjuntos; en particular se demostrará que la Hipótesis del Continuo es independiente de ZFC. El otro objetivo es estudiar algunas aplicaciones de la teoría de conjuntos a otras ramas de la matemática, en especial la topología y el análisis.

This is a first course in Information Theory. This course builds on material developed in a basic probability course, but the most impor-
tant requirement is mathematical maturity. The course has two explicit goals, namely to answer the following two (related) questions:
1. How efficiently can data be compressed?
2. How efficiently can data be transmitted in the presence of noise?
At the end of the course, students will have the mathematical tools to answer the above questions, as well as have a general understanding of the mathematics underpinning modern communications systems. More specifically, the main ideas we hope to cover during the course are entropy and mutual information of random variables, data compression, coding theory, and channel capacity.

Este es un curso de matemáticas donde se trata de modelos probabilísticos de riesgo en el área de seguros.
Se espera que los estudiantes asistan a las clases y trabajen en los talleres.

Objetivos de la asignatura y competencias a desarrollar son:

• exponer temas de probabilidad, procesos estochasticos y estadistica pertinentes para modelización de riesgos de aseguradoras
• fortalecer la capacidad de calculo teórico y practico adquirido en cursos de calculo integral y probabilidad

MATE-3135 is an upper-level undergraduate elective, MATE-4135 is a graduate elective mathematics course, meeting twice a week for two hours each time. The course language is English.

This class is an introductory class to the theory of large deviations. In a first part motivate the edifice of large deviations theory mainly in finite spaces in several examples, where it turns out to extremely useful. Applications are finite type convergence, Markov chains with finite states, etc. In a second part we shall study general Large deviations principle, and their applications to dynamical systems perturbed by Brownian motion, known as Freidlin-Wentzell theory, the asymptotic first exit time and locus. The class will be taught in English.

El objetivo de este curso es servir de puente entre un curso básico de Topología General (e.g. MATE3420) y temas recientes de investigación en el área. Algunos de los temas que trataremos son: Representación de Tychonov y compactificación de Stone-Čech. Álgebras booleanas y ultrafiltros. Dualidad de Stone. El álgebra P(ω)/Fin y el espacio βω.  Álgebras libres y los espacios de Cantor 2^k. Invariantes cardinales: productos y subespacios.  Agregando estructura: Grupos, semigrupos y espacios diagonalizables.  Unicidad de grupos compactos cero-dimensionales. Todo grupo compacto es diádico. Dualidad de Pontryagin.

En la segunda parte del curso veremos algunos temas más avanzados, según el interés de los participantes. Estos podrían incluir: Metrizabilidad y espacios de Moore. Teorema de extensión de homotopías y espacios de Dowker.  Topología de “subespacios elementales". Teoría de L-espacios y S-espacios.

Iniciar el estudio de la Teoría de Modelos de la Lógica de Primer Orden. Completud, Compacidad, Teoremas de Lowenheim-Skolem. Teorías K.Categóricas, Teorías Completas, Teoría Decidibles e Indecidibles. Equivalencia y Sumersión Elemental. Caracterización de Teorías Universales, Universales-Existenciales. Modelos Existencialmente Cerrados, Teorías Modelo Completas, Eliminación de Cuantificadores. Isomorfismos Parciales, Teoremas de Feferman-Vaugth. Teoremas de Interpolación y Definibilidad. Automorfismos, Indiscernibles, Teorema de Ehrenfeucht-Mostowski. Modelos Genéricos de Fraissé. Algebras Booleanas, Filtros, Ultrafiltros. Ultraproductos, Saturación de Ultraproductos. Tipos de Elementos, Realización y Omisión de Tipos, Saturación, Homogeneidad, Universalidad. Modelos Atómicos y Primos, Teorías Omega-Categóricas. Espacios de Tipos, Estabilidad, TeoríasOmega Estables. Después de esto el instructor podrá profundizar más en temas como las siguientes. Leyes 0-1 en Modelos Finitos. Espectro de Modelos Finitos. Relaciones con Complejidad. Teorema de Keisler-Shelah, Caracterización de Clases Elementales. Teorema de Categoricidad de Morely. Teorema de Baldwin-Lachlan.

En éste curso estudiaremos teorías estables y simples (una forma de generalizar las anteriores) y algunos rangos asociadas a éstas como son el rango de Morley y el rango local. Se estudiarán nociones asociadas a éstas, como son divisibilidad y bifurcación de fórmulas y tipos. Mostraremos que la definibilidad de tipos caracteriza las teorías estables y que una apropiada noción de independencia caracteriza a las teorías simples. Se estudiarán nociones combinatorias asociadas a estas teorías como son la propiedad de independencia, la propiedad del orden y la propiedad del orden fuerte. Introduciremos las teorías NIP, las teorías que NO satisfacen la propiedad de independencia, otra forma de generalizar las teorías estables.

En este curso introduciremos conceptos y técnicas de la teoría de representaciones de grupos finitos enfatizando en la teoría de representaciones del grupo simétrico. Nuestra travesía tambien incluirá algoritmos combinatorios relevantes a ésta teoría y (si el tiempo lo permite) habrán funciones simétricas.

Si usted cree en la existencia de un cierto tipo de objeto en la teoría de grafos o la ombinatoria pero no puede construirlo, ¿que haría? Erdos y Renyi introdujeron el siguiente método poderoso: demostrar que bajo una buena selección de los parámetros, un objeto aleatorio tiene las propiedades deseadas con probabilidad mayor que cero. Veremos una variedad de aplicaciones de este método y desarrollaremos las requisitas herramientas probabílísticas durante el curso.

La teoría de modelos es una rama de la lógica matemática que tiene muchas aplicaciones al álgebra.

En este curso estudiaremos algunas de estas aplicaciones, principalmente en los cuerpos finitos y pseudofinitos. Nos enfocaremos en las principales propiedades modelo teóricas de estos cuerpos y analizaremos la relación que hay entre estas y ciertas características algebraicas.

La teoría de representaciones de las álgebras de Lie, es un tema central en matemáticas, que tiene numerosas aplicaciones a otras ramas de las matemáticas (geometría, teoría de números, combinatoria, topología... ) así como en la física teórica (sistemas cuánticos integrables, teoría cuántica de campos, reglas de fusión,...)
El objetivo del curso es: primero dar una introducción a las nociones y útiles en la teoría clásica de álgebras de Lie semisimples y segundo estudiar algunas generalizaciones (álgebras de Kac-Moody, álgebra de Virasoro) y algunas aplicaciones.

Representation theory of Lie algebras is a central subject in mathematics, which has several applications to other branches of mathematics (geometry, number theory, combinatorics, topology,...) as well as in theoretical physics (quantum integrable systems, QFT, fusion rules,…)
The aim of the course is: firstly to give an introduction to the notions and tools in the classical theory of semisimple Lie algebras and secondly to study some generalizations (Kac-Moody algebras, Virasoro algebra) and some applications.

El curso teoría de representaciones de grupos  finitos está dirigido principalmente a estudiantes de matemáticas y física con conocimientos básicos de teoría de grupos y álgebra lineal. La idea es dar una introducción a varios temas de álgebra y teoría de representaciones que se pueden desarrollar de manera elemental y aparecen en muchas áreas de las matemáticas y de la física.

i.) Representaciones: Definiciones. Ejemplos básicos. Subrepresentaciones. Representaciones irreducibles.  Productos tensoriales de dos representaciones. Cuadrado simétrico y alternante. ii.) Teoría de caracteres: El carácter de una representación.  El lema de Schur. Relaciones de ortogonalidad entre caracteres. Descomposición de la representación regular. Número de representaciones irreducibles.  Descomposición canónica de una representación. Descomposición explícita de una representación. iii.) Subgrupos, productos y representaciones inducidas: Subgrupos abelianos.  Producto de dos grupos. Representaciones inducidas. iv.) Ejemplos y generalizaciones: Grupos cíclicos. Grupos diedrales. Grupos simétricos y alternantes. Representaciones de grupos compactos. v.) El álgebra de grupo: Representaciones y módulos Descomposición de C[G].  El centro de C[G].  Propiedades de integralidad de los caracteres.

Este curso es una introducción a los aspectos computacionales y aplicados de la geometría algebraica. Estudiaremos la teoría de variedades afines y proyectivas y además la teoría de bases de Groebner. Obtendremos una idea de cómo funcionan los sistemas de álgebra computacional para procesar los cálculos del álgebra de polinomios. 

El propósito del curso es hacer una introducción a los métodos algorítmicos en geometría algebraica (bases de Gröbner, series de Hilbert, etc.) en el contexto de anillos con acciones de grupos finitos o más generalmente reductivos (polinomios simétricos). Nos enfocaremos en el cálculo algorítmico de anillos de invariantes. Estas técnicas son de interés tanto en matemáticas puras como aplicadas.

El objetivo de la clase es exponer las propiedades aritméticas básicas de la curvas elípticas. La geometría diofantina trata del estudio de las soluciones en los enteros o en los racionales de ecuaciones algebraicas. Las ecuaciones lineales no poseen mayor  dificultad; las cuadráticas, de mayor interés, fueron estudiadas ampliamente a principios del siglo XX. El siguiente caso más simple, es el estudio de las cúbicas en dos variables: las curvas elípticas. Son tan complejas que hoy en día sigue siendo un tema de investigación muy dinámico.

En la primera parte del curso, definiremos la curvas elípticas y las estudiaremos sobr un campo de base cualquiera. Se explicará, entre otras cosas, la operación que hace de sus puntos un grupo abeliano.  Luego podremos abarcar temas más avanzados, según el tiempo y el interés de los estudiantes: sobre campos finitos, demostrando el teorema de Hasse-Weil; sobre el campo de los complejos, demostrando el teorema de uniformización; sobre campos de números, demostrando el teorema de Mordell-Weil.

El curso es una introducción a la teoría de los cardinales grandes. Incluirá las definiciones y propiedades principales de varios conceptos de gran cardinalidad originados por ideas muy diversas pero que calzan muy bien en una jerarquía que los hace comparables. Presentaremos cardinales grandes definidos mediante nociones de aritmética de cardinales, mediante propiedades combinatorias, mediante nociones de medida, nociones de compacidad de lenguajes y mediante inmersiones elementales.

El curso se divide en tres partes:
1) Principios del conteo;
2) Teor´ıa de grafos;
3) Combinatoria y acciones de grupo.

The course gives an introduction into delay differential equations which should enable participants to independent further study and work. Delay differential equations, sometimes also called retarded functional differential equations, are an old topic which goes back at least to Poisson (1806), but a systematic approach from a dynamical systems point of view has been developed only since the 1960ies. Delay differential equations have numerous applications from the life sciences to engineering and physics, wherever the evolution of a real world system in time involves not only instantaneous reactions but also time delays.

Objetivos:

• Modelar en aplicaciones de las ciencias y la ingeniería con ecuaciones diferenciales con retraso.
• Resolver ecuaciones diferenciales elementales en los espacios adecuados y entender sus propiedades. 
• Estudiar sistemáticamente la dinámica de ecuaciones diferenciales con retraso. 
• Simular ecuaciones con retraso en el computador.

Idioma del curso: inglés.

El objetivo principal del curso es el que los estudiantes aprendan los tópicos de actualidad en teoría de complejidad, así como las aplicaciones que están emergiendo a sistemas de computación modernos, incluyendo moneda electrónica, SNARKs, verificación de computación delegada y métodos para lograr privacidad y seguridad en aplicaciones emergentes (como IoT).

Dirigido a: matemáticos, científicos de computación, ingenieros de sistemas (con interés matemático).

An introduction to population dynamics modeling via ordinary and partial differential equations. Topics include basic non-spatial single species models, non-spatial models of interacting populations, spatial population dynamics via reaction-diffusion equations, steady state solutions, modeling of invading species, notions of critical domain size and spreading speed, extending classical models to two-compartment and spatially heterogenous settings.

Objetivos:

• Learning the classical models of non-spatial population dynamics.
• Learning and applying analytical and graphical methods to predict long-term behavior of non-spatial ecological models.
• Learning how ecological settings are modeled by various boundary value problems involving reaction-diffusion equations.
• Learning the basic techniques for analysis of long-term behavior of spatial ecological models.

Idioma del curso: inglés.

El curso es una introducción a métodos estadísticos recientes para cuantificar la incertidumbre de modelos complejos. Estos métodos intentan estimar el riesgo introducido por el hecho de que nuestros modelos del mundo tienen una precisión y una información limitada y miden cómo estas limitaciones afectan la calidad de nuestras predicciones. Los resultados que se presentarán en el curso están en la intersección entre teoría de probabilidades, estadística, sistemas dinámicos y algoritmos. Es un área naciente y muy activa de las matemáticas y el curso será dado por investigadores muy destacados en el área. El curso sera organizado sobre tres lineas. Primero herramimientos básicas en los temas de convergencia estocástica y de condicionamiento serán desarrollados. Después estudiaremos el análisis de sensibilidad global basado en métodos de decomposición de la varianza y de perturbaciones. Tercero, técnicas modernas de metamodelado (procesos gausianos, polinomios ortogonales, …), serán investigadas.

Objetivos:

• Conocer y saber utilizar herramientas de estadística asintótica.
• Cuantificar y dar diagnósticos sobre el papel jugado por las variables de entrada de un sistema no lineal complejo.
• Construir aproximaciones simples y apropiadas de funciones complejas.
• Implementar computacionalmente (Python, R, ..), métodos aleatorios de cuantificación de incertidumbre.

This course will be an introduction to Algebraic Coding Theory. Coding is an algebraic approach to adding redundancy to data, which allows us to correct for errors and erasures due to noisy environments. While originally motivated by the need for efficient data transmission, Coding Theory has also found applications more recently in
data storage, information retrieval, and cryptography, which we will cover towards the end of the course.

We will use a number of algebraic tools, and students are expected to have an excellent command of linear algebra. We will use some basics about finite fields as well, and later in the course even some tools from Algebraic Geometry and possibly Algebraic Number Theory. The background from these latter more advanced subjects will be provided as is needed, and no familiarity with them will be assumed. Overall, motivated students who have taken Abstract
Algebra I should have a good enough background to do well in the course.

Este curso está dirigido a estudiantes de matemáticas y estudiantes de otras ciencias que quieran usar la teoría de grupos en su carrera. Profundizaremos y extenderemos las ideas y construcciones que aparecen en el curso Álgebra Abstracta I para estudiar grupos de permutaciones y sus aplicaciones en la combinatoria y en la teoría de representaciones. Construcciones y estructura del grupo de permutaciones S_n y sus subgrupos, órbitas y estabilizadores, transitividad y k-transitividad, productos semidirectos y productos de corona, grupos primitivos y imprimitivos, permutaciones de conjuntos infinitos, y representaciones y caracteres de S_n.

La primera parte de la clase se concentra en el estudio de anillos y módulos sobre anillos con énfasis en los anillos de polinomios.  La segunda parte se concentra en campos y teoría de Galois. Mostramos como algunas preguntas clásicas sobre la solvabilidad de polinomios y construcciones con regla y compás se traduce a problemas de extensiones de cuerpos y probamos la insolubilidad de la quíntica. Probamos la correspondencia de Galois y calculamos el grupo de Galois de un polinomio de cuarto grado. Estudiamos campos finitos, extensiones algebraicas y trascendentes y clasificamos campos algebraicamente cerrados.

Este será un curso introductorio en geometría algebraica. En este curso estudiaremos variedades algebraicas, variedades proyectivas, y funciones entre ellas. Se establecerá un diccionario entre la geometría y el álgebra. Aprenderemos toda el álgebra conmutativa necesaria para poder desarrollar la geometría.

La “Paradoja de Banach-Tarski” dice que uno puede partir la esfera unitaria en R^3 en cuatro subconjuntos, que después de usar movimientos rígidos en el espacio euclídeo se reacomodan para formar dos esferas idénticas a la original. Este resultado es en sí mismo sorprendente, pero al resolver preguntas naturales como ¿Por qué no se puede hacer en el plano? y qué hay detrás de la paradoja, llevaron al descubrimiento y relación de conceptos importantes en teoría de grupos como “amenability”, propiedad T de Kazshdan, y aplicaciones muy interesantes de matemáticos como Gromov, Margullis y Tits.  En este curso analizamos la “paradoja” y los elementos de su demostración, cómo nos conlleva a la noción de grupos “amenable”, la ausencia de la paradoja en dimensiones menores y consecuencias de “amenable” sobre condiciones de crecimiento y la propiedad T de Kazhdan.

El quinto problema de Hilbert afirma que todo grupo topológico localmente euclideano es un grupo de Lie.

Este problema fue solucionado cuando Montgomery y Zippin y Gleason, y la demostración incluye entender de manera profunda la estructura de los grupos topológicos localmente compactos y en particular su relación con grupos de Lie.

La demostración de este teorema requiere desarrollar propiedades algebraicas y geométricas de los grupos de Lie y sus álgebras (fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff, entender teoremas de representación de grupos de Lie compactos (Peter-Weyl) y combinarlo con teoremas topológicos de metrización y compacidad. Es una relación fascinante entre diversas áreas de matemáticas con aplicaciones sorprendentes como el Teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinomial.

El curso presenta la verificación de sistemas determinísticos, posibilísticos y, en particular, probabilísticos. Incluye prerrequisitos de probabilidad, álgebra y lógica (por ejemplo: cadenas de Markov, lógicas temporales, algebras de procesos), introduce los algoritmos fundamentales de Model-checking y las técnicas de Diagramas Booleanos de decisión (BDDs), y culmina con los resultados recientes para sistemas y juegos probabilísticos. El objetivo principal es entender cómo se puede verificar que protocolos o sistemas complejos cumplan con las propiedades esperadas de estabilidad, eguridad, confiabilidad etc. y cómo diseñar estrategias “ganadoras” para juegos determinísticos o probabilísticos.

1. Análisis Real
Espacios métricos, completitud, completación de un espacio métrico, compacidad, conexidad.

2. Introducción al Análisis Funcional
Introducción a la medida de Lebesgue, Teorema de la convergencia monótona,Teorema de la convergencia dominada, Lema de Fatou; Espacios Lp. Espacios Ck [a; b], Teorema de Arzela-Ascoli, Teorema de Stone-Weierstrass.

3. Análisis Complejo
Funciones holomorfas, Ecuaciones de Cauchy-Riemann, Teorema de Cauchy y analiticidad, Calculo de Residuos, Teorema fundamental del álgebra.

El análisis complejo es la teoría de funciones analíticas en el plano complejo. Es una teoría muy clásica que comenzó con los trabajos de Cauchy, Riemann y Weierstrass. Desde sus comienzos los resultados se usan cotidianamente en muchos áreas de matemáticas. En contraste a la materia “Variable compleja”, en este curso se tratan los temas básicas de la teoría del análisis complejo rigurosamente.

El curso da una introducción a la teoría de la medida de Lebesgue y sus aplicaciones al análisis funcional y a la probabilidad.
INTEGRACIÓN ABSTRACTA: El concepto de medibilidad. Propiedades elementales de las medidas. Integración de funciones positivas. Integración de funciones complejas. Conjuntos de medida cero. MEDIDAS DE BOREL POSITIVAS: El Teorema de Representación de Riesz . Regularidad de las medidas de Borel. La medida de Lebesgue. Propiedades de continuidad de las funciones medibles. MEDIDAS COMPLEJAS: Variación total. Continuidad absoluta. El teorema de Radon–Nikodym. INTEGRACIÓN SOBRE ESPACIOS PRODUCTO: Medibilidad de productos cartesianos. El teorema de Fubini. Completación de medidas producto. Convoluciones. Funciones de distribución. DIFERENCIACIÓN: Derivada de medidas. El Teorema Fundamental del Cálculo. Transformaciones diferenciables. ESPACIOS L_p: Funciones convexas y desigualdades. Espacios L_p. Aproximación por funciones continuas.

El curso tiene como propósito la presentación teórica de las ecuaciones básicas de la Física Matemática tales como las ecuaciones de Laplace y Poisson, las ecuaciones de transmisión de calor y de onda, los sistemas de ecuaciones en derivadas parciales de tipo Navier-Stokes y similares. Una de las características del curso es la deducción detallada de todos los resultados con demostraciones. El curso tiene un énfasis teórico y es orientado principalmente a los estudiantes de las carreras Matemática y Física, aunque también puede ser útil para los estudiantes de Ingeniería que están interesados en una avanzada base teórica.

Este curso tiene como propósito la presentación teórica de los aspectos fundamentales de la teoría de las funciones generalizadas. Una de las características del curso es la deducción detallada de todos los resultados con demostraciones. El curso tiene un énfasis teórico y es orientado principalmente a los estudiantes de la carrera matemática, aunque también puede ser útil para los estudiantes de física.

La teoría de las funciones generalizadas (FG) es una parte importante del análisis que extiende el concepto de una función a los funcionales lineales continuos actuando sobre un espacio determinado de funciones básicas.

Espacios de Banach: Definiciones y ejemplos. Subespacios, transformaciones lineales, espacios cocientes. Dualidad: el teorema de Hahn-Banach. Teoremas de Banach-Steinhaus, de la Aplicación Abierta y del Gráfico Cerrado. Aplicaciones: Operadores adjuntos. Espacios de Hilbert: Definiciones y ejemplos, ortogonalidad. Operadores continuos: convergencia de operadores. Operadores hermitianos, normales y unitarios. Proyecciones ortogonales. Operadores compactos: Introducción a la teoría espectral.

Este curso tiene como propósito la presentación teórica de los aspectos fundamentales de la teoría espectral de los operadores lineales. Una de las características del curso es la deducción detallada de todos los resultados con demostraciones. 1.Criterios de compacidad en varios espacios funcionales 2. Operadores compactos auto-adjuntos en los espacios de Hilbert, su semejanza con las matrices simétricas. 3. Operadores compactos en los espacios de Hilbert, Teoremas de Fredholm para las ecuaciones funcionales, sus aplicaciones para las ecuaciones integrales con núcleos no-singulares. 4. Representación integral de los operadores auto-adjuntos y de las funciones de esos operadores, como descomposición en la medida espectral.  5. El espectro y el espectro esencial de los operadores auto-adjuntos. 6. Representación integral explícita del laplaciano actuando en el espacio de Sobolev, forma explícita de los proyectores sobre los subespacios invariantes del laplaciano.  7. Clasificación del espectro del laplaciano (puntual, continuo, esencial, residual) actuando en los espacios de Sobolev, como función de p.  8. Algunas aplicaciones de la teoría espectral a los problemas de unicidad de la hidrodinámica matemática.

El método de los elementos finitos (MEF) es una de las técnicas más importantes para la solución numérica de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. El curso va a presentar las ideas matemáticas básicas en las que se fundamenta el MEF. Se planteará el análisis matemático mediante los modelos clásicos: ecuaciones de Poisson, de Navier-Stokes y la ecuación de Cauchy en elasticidad, se presentará la formulación variacional y su aplicación a la resolución de problemas de contorno.

La interpretación física de dichas ecuaciones ligará la teoría al estudio de problemas prácticos en cálculo computacional. Para la práctica computacional se utilizará la plataforma open source Kratos Multiphysics que permite el análisis y simulación numérica a nivel de usuario e incluye además dos niveles para el desarrollo, programación básica mediante Python y avanzada mediante C++.análisis y simulación numérica a nivel de usuario e incluye además dos niveles para el desarrollo, programación básica mediante Python y avanzada mediante C++.

Stochastic differential equations are nowadays the standard class of models for most continuous time phenomena in engineering, the natural sciences, economics and life sciences. One reason for this is that compared to deterministic differential equations they exhibit a very rich (stochastic) dynamics, often also observed in the phenomena of interest. The essential difference consists in the occurrence of a random switching between different domains of attraction of the (deterministic) dynamical system and many associated phenomena.

This summer course provides a well-motivated, comprehensive introduction to stochastic differential equations for Gaussian and non-Gaussian stochastic (Lévy) processes for a mixed audience. The stochastic dynamics of these processes is then studied by means of large deviation principles, first exit times and metastability.

The course is focussed in the profound understanding of three major applications. First we will understand how different types of randomness can be used for a powerful stochastic optimization procedure known as simulated annealing. As a second application we will analyze the optimal tuning of the noise intensity in order to observe stochastic resonance, that is a synchronization in a periodically changing potential. Finally we will obtain the highly useful approximation of stochastic differential equations by means of ordinary differential equations known as Wong-Zakai procedure.

Análisis Asintótico desarrolla más adelante el método de series de potencia ya conocido, por ejemplo de ecuaciones diferenciales. En el presente curso, el concepto de series asintóticas divergentes se introduce rigurosamente, y también se discute el origen principal de tales series – la integral de Laplace. Varias aplicaciones a los problemas de física matemática (funciones especiales, la teoría de funciones generalizadas) se estudian.

La geometría Riemanniana ha sido una de las áreas más importantes de las matematicas desde su inicio, en el siglo XIX, y sus aplicaciones en física teórica (en relatividad general, en particular) revolucionaron nuestra concepción del mundo. El curso que se presenta a continuación tiene como objetivo introducir las ideas fundamentales y las herramientas básicas de la geometría Riemanniana, presentando al mismo tiempo los resultados más importantes en el área y algunas de sus aplicaciones (clásicas y recientes) en el estudio de la topología de variedades diferenciales.

La geometría Riemanniana ha sido una de las áreas más importantes de las matematicas desde su inicio, en el siglo XIX, y sus aplicaciones en física teórica (en relatividad general, en particular) revolucionaron nuestra concepción del mundo. El curso que se presenta a continuación tiene como objetivo introducir las ideas fundamentales y las herramientas básicas de la geometría Riemanniana, presentando al mismo tiempo los resultados más importantes en el área y algunas de sus aplicaciones (clásicas y recientes) en el estudio de la topología de variedades diferenciales.

En este curso, se usarán las formas diferenciales como una herramienta para el estudio de algunos aspectos centrales de la topología algebraica tales como teorías cohomológicas, dualidad de Poincaré, el isomorfismo de Thom, etc. Nos limitaremos a la categoría de las variedades diferenciables, principalmente. Las técnicas usadas son útiles para entender algunos de los aspectos más importantes de la topología algebraica, como sucesiones espectrales, clases características, geometría compleja, etc.

Profundizar en las aplicaciones de las Teorías de Homología, Cohomología y Clases Características. Evidenciar la relación de estas teorías con la Geometría. Teoría de Transversalidad en Superficies Compactas. Topología de Variedades de Baja Dimensión. Clases Características de Chern y de Pontrjagyn. Breve introducción a la Geometría Compleja y Compleja Generalizada. Obstrucciones para la Existencia de Estructuras Complejas Generalizadas.

El objetivo de este curso es introducir la teoría básica de grupos de Lie, álgebras de Lie y los fundamentos de la teoría de representaciones asociada, con el objeto de estudiar la geometría de espacios homogéneos, i.e. espacios que son cocientes de grupos de Lie por subgrupos cerrados.

Los haces vectoriales y en forma más general los haces fibrados juegan un papel importante en las matemáticas y la física matemática. La noción de haz vectorial surge al estudiar las variedades diferenciables y alrededor de la mitad del siglo pasado se desarrolló la teoría de clases características para su estudio. El curso abordará las construcciones de haces fibrados, haces vectoriales, sus propiedades topológicas y aplicaciones.

El análisis topológico de datos es una nueva herramienta para hacer análisis exploratorio de datos. Su propósito es extraer información basada en la estructura subyacente de los datos. Muchos de estos datos se representan como puntos en un espacio de alta dimensión, pero posiblemente están concentrados alrededor de estructuras geométricas de baja dimensión.
El objetivo del curso es familiarizar a los estudiantes con estos nuevos métodos.

Topological Data Analysis (TDA) is a new tool in exploratory data analysis and data mining. It aims to extract underlying structures of the data. Many such data come in the form of point clouds, living in high-dimensional spaces, but possibly concentrated around low-dimensional geometric structures.
The objective of this course is to familiarize the students with these new methods.

Este curso es una introducción a las teorías de la dinámica estocástica, es decir las herramientas y resultados para entender el comportamiento de procesos estocásticos a lo largo del tiempo en diferentes contextos, como familias i.i.d. de variables aleatorias independientes, cadenas de Markov, sistemas dinámicos aleatórios, procesos estacionarios, y ecuaciones diferenciales estocásticas simples.

Introducir al estudiante a las principales ideas y técnicas de la Estadística No Paramétrica, de manera de que pueda manejar tanto los aspectos teóricos del tema como los aspectos computacionales y sea capaz de seleccionar procedimientos no paramétricos adecuados para diversos problemas de la estadística e implementarlos eficientemente en la computadora, incluso en situaciones no estándar. Asimismo, exponer al estudiante a las diversas técnicas de remuestreo disponibles en la estadística moderna, haciéndolo consciente de las posibilidades y limitaciones de este tipo de procedimiento. El curso requiere un curso previo en Estadística y cierta madurez matemática, para manejar ideas tales como el Teorema del Límite Central para U-Estadísticos, por ejemplo.

El curso introduce al estudiante a una variedad de métodos no paramétricos para la toma de decisiones en datos de alta dimensión y disponibles en muestras de gran tamaño. El problema principal que se discute a lo largo del semestre es el de clasificación, principalmente en el caso de Aprendizaje Supervisado, aunque también se  discuten algunos procedimientos de Aprendizaje no Supervisado y de reducción de dimensionalidad. Para cada procedimiento presentado se discuten aspectos de implementación y la teoría matemática que sustenta su validez.

Entre los procedimientos estudiados están:
Regresión Logística, Análisis de Componentes Principales, Discriminadores Lineales (desde el Perceptron hasta Maquinas de Soporte Vectorial), Arboles de Clasificación, Bosques Aleatorios, Boosting. Se discute en detalle la teoría del clasificador de Vecinos más cercanos. Se dedica atención especial a la dimensión VC (Vapnik-Cervonenkis) y su aplicación a Leyes Uniformes de Grandes Números (generalizaciones de Glivenko-Cantelli) y el uso de estos resultados en el paradigma de Minimización de Riesgo estructural.

Un 40% de la evaluación del curso depende de Proyectos Computacionales, tipicamente desarrollados en el lenguaje R. El resto corresponde a exámenes escritos y exposiciones de temas avanzados.

Introducir al estudiante al movimiento Browniano y algunas de sus propiedades. Presentarle la teoría básica de integración estocástica con respecto al movimiento Browniano y su relación con las ecuaciones diferenciales estocásticas de difusión. Darle la posibilidad al estudiante de aplicar estos conceptos en el contexto de las aplicaciones en finanzas.

Este curso es una introducción a la teoría de procesos estocásticos en tiempo continuo con énfasis en el papel central que juega el movimiento Browniano y sus generalizaciones naturales, los procesos de Lévy. Se presentarán algunas aplicaciones en biología y física.

El propósito de este curso es estudiar dos aspectos importantes de la optimización convexa:

1. Métodos numéricos (demostrar que el problema de aproximar la solución a un problema de optimización convexa con precisión muy alta es de complejidad POLINOMIAL) y discutir algunas implementaciones eficientes.

2. El rol de la optimización convexa en la aproximación de problemas combinatorios (el algoritmo de Goemans-Williamson y las jerarquías de aproximación de Lasserre y Parrilo para problemas de momentos). Se discutirán además muchas aplicaciones de la optimización convexa que resultan de estos dos aspectos.

El curso se enfoca en presentar la teoría necesaria para modelar y resolver problemas de optimización convexa, buscando siempre incluir ejemplos en el análisis de datos, donde estos problemas surgen.

El curso es una introducción a la programación lineal y sus extensiones, enfatizando la estructura matemática que la soporta, ideas geométricas, algoritmos y soluciones de problemas prácticos.

El objetivo es poner al estudiante en contacto con una gama amplia de temas matemáticos avanzados y enseñarle a sintetizar y exponer oralmente dichos temas con claridad y precisión.

El objetivo es poner al estudiante en contacto con una gama amplia de temas matemáticos avanzados y enseñarle a sintetizar y exponer oralmente dichos temas con claridad y precisión. En este seminario el estudiante decidirá el tema en el área en que piensa desarrollar su trabajo de grado y preparará con el profesor que posiblemente será su director de trabajo de grado una exposición sobre el tema escogido.

El objetivo del seminario es introducir plenamente al estudiante en la actividad investigativa, por medio del estudio directo de la literatura matemática especializada y capacitarlo, no solo para la solución de problemas, sino para su adecuada formulación. El estudiante debe presentar el proyecto de tesis al Comité de Postgrado e Investigaciones del Departamento antes de la última semana de retiros del semestre, se espera que el estudiante avance en su investigación en el periodo posterior.

El estudiante deberá elaborar un trabajo de investigación en alguna de las áreas matemáticas que el Programa de Magíster ofrece. Éste debe demostrar que el autor ha realizado un trabajo de asimilación y sistematización, o una exploración cuidadosa en la frontera de un tema concreto, evidenciando cierto grado de creatividad y una gran familiaridad con la información reciente sobre el tema. El Trabajo de Grado debe estar redactado en castellano o inglés y poseer la organización formal propia de un trabajo científico.

Este curso lo deben inscribir los estudiantes de posgrado que planean recibir su grado el semestre siguiente.

Materia que inscriben los estudiantes de posgrado cuando hacen intercambios académicos con Universidades de otros países.

El objetivo es poner al estudiante en contacto con una gama amplia de temas matemáticos avanzados y enseñarle a sintetizar y exponer oralmente dichos temas con claridad y precisión.

El objetivo es poner al estudiante en contacto con una gama amplia de temas matemáticos avanzados y enseñarle a sintetizar y exponer oralmente dichos temas con claridad y precisión.

En éste seminario el estudiante decidirá el tema en el área en que piensa desarrollar su trabajo de grado y preparará con el profesor que posiblemente será su director de trabajo de grado una exposición sobre el tema escogido.

En este curso los estudiantes presentan al comité de posgrados un plan de trabajo en un tema avanzado de investigación, avalado por su director o tutor. Deben realizar un informe de sus actividades durante el semestre, basados en una propuesta del área en la cual planean preparar su proyecto de tesis de doctorado.

La evaluación de la asignatura Proyecto de Tesis 2 dependerá de la evaluación de la Sustentación del Proyecto de Tesis.

El estudiante deberá presentar el Proyecto de Tesis, avalado por su Director (y su Codirector, en caso de tenerlo) ante el Comité de Postgrado e Investigaciones del Departamento.Para su evaluación, el Comité designa a un experto en el tema, distintos al Director y al Codirector, el cual deberá tener experiencia en la dirección de tesis de doctorado. El evaluador deberá emitir un concepto sobre el proyecto, juzgando si es una investigación apropiada para tesis doctoral, viable y original.

El estudiante deberá presentar dos Exámenes de Conocimiento: Examen de Conocimiento 1 y Examen de Conocimiento 2, en áreas diferentes. El estudiante podrá presentar estos exámenes escogiendo entre las áreas de investigación que soporta el programa de doctorado.

El estudiante deberá presentar dos Exámenes de Conocimiento: Examen de Conocimiento 1 y Examen de Conocimiento 2, en áreas diferentes. El estudiante podrá presentar estos exámenes escogiendo entre las áreas de investigación que soporta el programa de doctorado.

El estudiante deberá sustentar el Proyecto de Tesis presentado en el curso MATE6904 Proyecto de Tesis 2, Para su evaluación, el Comité designa a un experto en el tema, distintos al Director y al Codirector, el cual deberá tener experiencia en la dirección de tesis de doctorado. El evaluador deberá emitir un concepto sobre el proyecto, juzgando si es una investigación apropiada para tesis doctoral, viable y original.
Este curso lo deben inscribir aquellos estudiantes que estén cursando MATE6904 Proyecto de Tesis 2

El estudiante deberá realizar una pasantía por un tiempo no menor de un semestre académico –no necesariamente consecutivos – en una universidad o en un centro de investigación, de reconocido prestigio, en el exterior. Para la aprobación de la Pasantía, el Comité de Postgrado e Investigaciones verificará que en la institución donde el estudiante realizará su pasantía se encuentra un experto en el área en la cual el estudiante realiza o realizará su Tesis, dispuesto a asesorarlo.
En este período el estudiante debe trabajar en su tesis doctoral bajo la supervisión de su Director y/o Codirector de Tesis.

Al final del semestre el estudiante deberá presentar un escrito sobre el desarrollo de su investigación a su Director de Tesis.

Al final del semestre el estudiante deberá presentar un escrito sobre el desarrollo de su investigación a su Director de Tesis.

Al final del semestre el estudiante deberá presentar un escrito sobre el desarrollo de su investigación a su Director de Tesis.

Al final del semestre el estudiante deberá presentar un escrito sobre el desarrollo de su investigación a su Director de Tesis.

Al final del semestre el estudiante deberá presentar un escrito sobre el desarrollo de su investigación a su Director de Tesis.

Al final del semestre el estudiante deberá presentar un escrito sobre el desarrollo de su investigación a su Director de Tesis.

La tesis de doctorado debe basarse en un Proyecto de Tesis aprobado y sus resultados deben llevar a un trabajo de investigación que constituya un aporte original a la matemática. Además debe tener méritos para generar publicaciones en revistas especializadas de reconocido valor científico internacional. El documento debe redactarse en castellano o en inglés, y debe poseer la organización formal propia de un trabajo científico. La evaluación de la asignatura Tesis dependerá de la evaluación de la Sustentación de la Tesis.

La tesis de doctorado debe basarse en un Proyecto de Tesis aprobado y sus resultados deben llevar a un trabajo de investigación que constituya un aporte original a la matemática. Además debe tener méritos para generar publicaciones en revistas especializadas de reconocido valor científico internacional.
La integración mínima del Jurado de Tesis deberá cumplir lo establecido por el Reglamento General de Estudiantes de Doctorado, y cumplir además que al menos dos (2) de los jurados deben ser externos a la Universidad de los Andes. Todos los jurados deben tener doctorado, o en caso de ser internos tener el aval del Consejo Académico para dirigir tesis. La sustentación de la tesis de doctorado se realizará ante el jurado, y ellos se encargarán de evaluarla con nota de “Aprobado” o “Reprobado”-
Este curso lo deben inscribir conjuntamente con MATE6989 Tesis

Materia que inscriben los estudiantes de posgrado cuando hacen intercambios académicos con Universidades de otros países.