2000

Conceptos preliminares: Conjuntos y Relaciones de Equivalencia. Grupos y Subgrupos: Operaciones binarias, grupos y gubgrupos, grupos Cíclicos y generadores.

Grupos y Cosets: Grupos de permutaciones, órbitas, ciclos y grupos alternantes, introducción a isomorfismos y el Teorema de Cayley, cosets y el Teorema de Lagrange, productos directos y grupos abelianos finitamente generados.

Homomorfismos y Grupos Factor: Homomorfismos, grupos factor, grupos simples, series de grupos, grupos de acción sobre conjuntos, aplicaciones de G-conjuntos en combinatoria.

Teoría Avanzada de Grupos: Teoremas de Sylow, grupos abelianos libres, grupos libres.

Anillos y Campos: Anillos, campos y dominios de integridad.

En este curso se establece la relación entre los conceptos de álgebra y el campo de cristalografía. Se trata de un curso de matemáticas, por lo tanto los temas de física serán desarrollados solo con el fin de motivació

 

Este curso está dirigido a los estudiantes de matemáticas y de otras ciencias que quieran usar la teoría de combinatoria en sus carreras. Profundizaremos y extenderemos las ideas y construcciones que aparecen en el curso de matemática estructural para estudiar los problemas de conteo y sus aplicaciones en matemáticas, ciencia, e ingeniería.

En este curso se presentarán los aspectos básicos de la teoría axiomática de conjuntos, desarrollada a partir de los axiomas de Zermelo-Fraenkel.

Este curso opcional dirigido a estudiantes de pregrado es una introducción rigurosa a los fundamentos matemáticos de la teoría de computación. Se estudian las correspondencias fundamentales entre los tipos de autómatas y lenguajes formales que participan en la jerarquía de Chomsky, las nociones básicas de computabilidad (máquinas de Turing y tesis de Church-Turing) y nociones básicas de complejidad computacional (clases P, NP, reductibilidad, problemas NP-completos.

Se espera que el estudiante que tome este curso ya conozca las nociones básicas de teoría de conjuntos (operaciones básicas de conjuntos y demostración de propiedades de conjuntos) y los métodos de demostración elementales, en particular el de demostración por inducción.

En el curso no se hará programación, pero sí se espera que el estudiante que tome que el curso está familiarizado con las nociones y estructuras básicas de programación (ciclos, instrucciones condicionales, recursión, etc.).

Este curso ofrece una introducción a los modelos matemáticos de la computación cuántica. Los temas cubiertos incluirán: probabilidad cuántica, algoritmos cuánticos (incluyendo algoritmo de factorización de Shor, algoritmo de búsqueda de Grover y el problema del subgrupo oculto), corrección cuántica de errores y una introducción a la teoría, computación cuántica tolerante a errores.

Este curso cubre los conceptos básicos fundamentales para las matemáticas como espacioes métricos; sucesiones y series, límites; continuidad, diferenciabiliad de funciones; integración de Riemann; sucesiones y series funciones; convergencia puntual y uniforme de sucesiones de funciones; aproximación de funciones (series de Taylor; Teorema de Weierstrass).

NÚMEROS COMPLEJOS: Conceptos básicos y representaciones.
FUNCIONES ANALÍTICAS: Ecuaciones de Cauchy-Riemann, Funciones armónicas.
FUNCIONES COMPLEJAS ELEMENTALES: exponencial, trigonométricas, hiperbólicas y logaritmo, Transformaciones con la función exponencial.
INTEGRACIÓN COMPLEJA: Integrales de camino, Teorema de Cauchy-Goursat, Fórmula integral de Cauchy.
SUCESIONES Y SERIES: Convergencia, Series de Taylor y de Laurent.
RESIDUOS: El teorema de los residuos de Cauchy.
APLICACIONES DE LOS RESIDUOS: Cálculo de integrales impropias, Integrales impropias en el análisis de Fourier; el lema de Jordan.

Números complejos, álgebra y geometría de los números complejos. Aplicaciones conformes. Funciones analíticas. Funciones complejas elementales: función exponencial, funciones trigonométricas, logaritmos. Integración compleja: teorema de Cauchy-Goursat. Teorema de Liouville.  Sucesiones y series, series de potencias, series de Taylor y de Laurent. Cálculo de residuos. Representación conforme. Funciones armónicas.

Números Complejos. Funciones Analíticas. Funciones Elementales. Integrales. Teoremas de Cauchy-Goursat. Solución  Numérica de Ecuaciones en una Variable. Problemas de Valor Inicial en Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Métodos de solución de Sistemas Lineales, directos e iterativos. Solución de Sistemas de Ecuaciones no Lineales. Solución de problemas de frontera en Ecuaciones Diferenciales Parciales. Diferencias Finitas.

Métodos generales de resolución de ecuaciones de primer orden. Ecuaciones lineales de orden 2 o superior. Ecuaciones lineales de orden 2 con coeficientes variables. Aplicaciones a la física. Sistemas de ecuaciones de primer orden. Sistemas lineales homogéneos y no homogéneos. Aplicación de series de potencias a la solución de ecuaciones diferenciales. La transformada de Laplace. Series de Fourier.  Funciones ortogonales. Ecuaciones diferenciales parciales. Aplicaciones: ondas, vibraciones, conducción del calor.

En la mayoría de los temas las ecuaciones diferenciales estudiadas responden a modelos matemáticos de procesos que tienen su origen y aplicación en ciencia e ingeniería. Por lo tanto el énfasis del curso es el aprendizaje de los algoritmos
para resolver las ecuaciones diferenciales y la interpretación (o significado) de la ecuación diferencial o sistema y las soluciones analíticas o numéricas.

Los objetivos son:

• Profundizar la relación entre las matemáticas y la ingeniería biomédica específicamente los conceptos del álgebra lineal y de las ecuaciones diferenciales.

• Desarrollar en los estudiantes una estructura l ógica del pensamiento para aplicarla en la resolución de problemas de ingeniería biomédica y para poder comunicarse de una manera coherente en forma oral y escrita.

• Desarrollar en el estudiante el gusto por los temas matemáticos y una sensibilidad hacia la belleza matemática que presentan los temas en sí mismos.

Este curso es un primer acercamiento a la teoría de los sistemas dinámicos diferenciales, cuya relevancia radica en su gran número de aplicaciones.

El objetivo principal de este curso es introducir los conceptos básicos de la belleza del tema de la geometría diferencial a través del ejemplo de curvas y superficies, usando el cálculo y el álgebra lineal como las principales herramientas. Muchos de los métodos interesantes son desarrollados para capturar las propiedades locales y globales de curvas y superficies.

El curso lo podemos dividir en dos, siendo la primera la probabilista y la segunda estadística inferencial. En la primera parte del curso el objetivo es familiarizar al estudiante con procesos no determinísticos, es decir con aquellos procesos con los cuales al ser realizados una vez no sabemos su resultado, pero si cuales pueden ser todos los posibles resultados. Para ello al estudiante se le introduce en la teoría básica de probabilidad desde un enfoque axiomático, haciendo parte de esto los diferentes tipos de variables. En la segunda parte del curso el objetivo es dotar al estudiante de herramientas que le permitan a partir de una muestra aleatoria por inferir, concluir, etc., acerca de la población. Es por eso que se busca la familiarización del estudiantes con los conceptos de: distribuciones muéstrales, estimación, prueba de hipótesis, entre otros. Un objetivo no menos importante es el inicio del estudiante en el manejo del paquete estadístico STATA y EXCEL, con el objetivo de aplicar los conceptos vistos en clase, ya que serán de gran importancia en su curso de Econometría.  

En este curso se dan inicialmente unos conceptos básicos de probabilidad, pero está orientado a enseñar técnicas estadísticas básicas con énfasis en las aplicaciones. El texto del curso está orientado a las aplicaciones y hace uso de bases de datos reales, por lo que el curso también irá acompañado de software estadístico. El texto tiene una separata con un contenido matemático más formal, que el profesor usará convenientemente y que puede motivar al estudiante al estudio de material estadístico más avanzado.

Este curso se ha diseñado para estudiantes de economía, con una intensidad de cuatro horas y media por semana, en el que se tratan diversos temas de Inferencia estadística, que serán de gran aplicabilidad en cursos posteriores como econometría e investigación de mercados.

Objetivos de la asignatura
Dado que en la gran mayoría de casos no es posible conocer toda la información de la población, al finalizar el curso con la ayuda de las herramientas vistas en clase pueda inferir, dar recomendaciones para la población a partir de una muestra aleatoria.

Contenido del curso:
Espacios de probabilidad. Conteo, permutaciones, combinaciones, coeficientes multinomiales, espacio muestral, eventos, axiomas de probabilidad, eventos igualmente probables, probabilidad como función continua, como medida de credibilidad,  probabilidad condicional, fórmula de Bayes, eventos independientes, P(.|F) es una probabilidad, variables aleatorias (v.a), discretas, valor esperado, esperanza de una función de v.a, varianza, Bernoulli y Binomial, Poisson, otras discretas, Función de distribución acumulada, variables aleatorias continuas, esperanza y varianza, Uniforme, Normal, Exponencial, Otras continuas, Distribución de una función de una variable aleatoria, distribuciones conjuntas, variables aleatorias independientes, suma de v.a. independientes, distribución condicional, estadísticos de orden, Probabilidad conjunta de función de variable aleatoria, esperanza de sumas, momentos del número de eventos, covarianza, correlaciones, esperanza condicional, y predicción, Función generadora de momentos, Normal multivariada, Ley débil de los grande números, Teorema del límite central, Ley fuerte de los grandes números.

El enfoque es enseñar técnicas estadísticas básicas con énfasis en las aplicaciones. El texto del curso está  orientado a las aplicaciones y hace uso de bases de datos reales, por lo que el curso también irá acompañado de software estadístico. El texto tiene una separata con un contenido matemático más formal, que el profesor usará convenientemente y que puede motivar al estudiante al estudio de material estadístico más avanzado.

Varios problemas de la vida real se modelan usando ecuaciones algebraicas o diferenciales. El matemático que resuelve estos problemas debe asegurarse que la solución existe. Pero en muchos casos (casi todos) es imposible encontrar tal solución. Justamente el análisis numérico consiste en encontrar aproximaciones a dichas soluciones. Contenidos: Interpolación. Integración numérica. Calculo matricial. Normas vectoriales y matriciales. Resolución directa de sistemas lineales. Métodos iterativos. Métodos basados en optimización. Ecuaciones con derivadas parciales: diferencias finitas y elementos finitos.

Es el último curso que ofrece matemáticas a los estudiantes de economía. En él se pretende aplicar los diferentes temas de los cursos vistos previamente, en la solución de problemas de maximización estática y dinámica. Este curso se ha diseñado para estudiantes de pregrado de economía, teniendo en cuenta que también es tomado por estudiantes que han decidido hacer doble programa con economía y también para aquellos que ingresan a la maestría en economía PEG y que la facultad de Economía les ha sugerido tomar como parte de la nivelación.

Objetivos de la asignatura:
Solucionar problemas de maximización, minimización. Dar las herramientas necesarias para que el estudiante al final del curso esté en capacidad de analizar los diferentes tipos de funciones en varias variables,conocer sus dominios, rangos, máximos, mínimos, con o sin restricciones, haciendo énfasis en las aplicaciones
económicas.

El curso consiste de tres partes:

Portafolios óptimos y teoría de mercado de capitales
Cálculo estocástico y valoración de derviados
Valoración de activos mediante el modelo binomial

El objetivo de este curso es familiarizar a los estudiantes con modelos matemáticos aplicables a las ciencias sociales y naturales. Se verán modelos de crecimiento e interacción de poblaciones: la ecuación logística, competencia de especies (ecuación de Lotka-Volterra), modelo predador-presa, modelos epidemiológicos. Se incluirá una introducción a sistemas dinámicos.

Este curso se trata del estudio matemático de algunos aspectos del aprendizaje de máquinas (machine learning). Esta rama de la inteligencia artificial investiga la posibilidad de crear algoritmos que “aprenden” a generar buenas hipótesis que generalizan muestras finitas, por ejemplo para clasificar data en categorías determinadas o hacer pronósticos basados en datos históricos.
Analizaremos los marcos teóricos para el aprendizaje de máquinas con el fin de dar respuestas a preguntas como: ¿Cuáles conceptos son más fáciles a aprender por un algoritmo (o más difíciles), y cómo se puede relacionar esto con medidas de la complejidad combinatórica de la familia de conceptos? ¿Bajo cuáles condiciones se puede decir que un algoritmo de aprendizaje convergirá a una respuesta aproximadamente correcta? ¿Qué es una “red neuronal” y cómo funciona?

En este curso no se aprenderá a implementar algoritmos de aprendizaje (por ejemplo, con programación en Python) sino a entender la teoría matemática subyacente.

No asumiremos ninguna experiencia previa con la programación. Conocimiento de conceptos estadísticos tampoco es necesario; desarrollaremos un poco de la teoría de probabilidad en el curso para poder analizar los algoritmos.