FISI 3007 Métodos Matemáticos Avanzados
En la historia de la ciencia, la física y las matemáticas han tenido un fructífero desarrollo común en donde ideas de la física permiten desarrollar nuevas teorías y objetos matemáticos, y viceversa. Las matemáticas son el lenguaje cuantitativo y universal de las ciencias, en particular de la física. Por lo tanto, todo físico debe tener una sólida formación matemática y haber desarrollado en su carrera competencias matemáticas que le permitan abordar con éxito los problemas teóricos que se plantean al estudiar, modelar y resolver diversos problemas físicos. Este curso complementa la formación matemática de la carrera de Física después del ciclo terminado en “Métodos Matemáticos” (FISI-2007). Se explorarán en más detalle las teorías asociadas a las ecuaciones diferenciales de la física, tales como la teoría de Stern-Liouville y el estudio de las singularidades en ecuaciones diferenciales. Esto permitirá entender mejor las propiedades de las soluciones de estas ecuaciones y sus aplicaciones en problemas físicos. Este estudio lleva naturalmente a introducir y estudiar un buen número de funciones especiales, tales como los polinomios ortogonales de Permite, Laguerre y Jacobo, las funciones beta y gamma de Euler, la función hipergeométrica de Gauss y las funciones elípticas.
1. Teoría de Sturm–Liouville de las ecuaciones diferenciales lineales: operadores lineales autoadjuntos, funciones ortogonales, series de Fourier generalizadas. Aplicaciones a ecuaciones de onda, funciones de Green.
2. Polinomios ortogonales: teoría general y polinomios ortogonales clásicos: Hermite, Laguerre, Jacobo (Ultraesféricos, Legendre, Chebyshev). Aplicaciones a sistemas de fermiones independientes, osciladores armónicos, átomo de hidrógeno.
3. Integrales de Euler de primera y segunda especie: función gamma, función psi, función beta.
4. Teoría de las singularidades regulares de las ecuaciones diferenciales lineales. Ecuaciones diferenciales lineales con tres puntos singulares regulares: ecuación diferencial de Riemann. Ecuación diferencial hipergeométrica de Gauss. Función hipergeométrica.
5. Funciones elípticas (funciones meromorfas doblemente periódicas). Función ℘ de Weierstrass. Funciones theta. Funciones elípticas de Jacobi. Aplicaciones: ecuación de difusión, osciladores anarmónicos, el péndulo simple.
Periodo en el que se ofrece el curso
202010
Idioma en el que se ofrece el curso
Español
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