2000

Conceptos preliminares: Conjuntos y Relaciones de Equivalencia. Grupos y SubGrupos: OPeñaciones Binarias, Grupos y Subgrupos, Grupos Cíclicos y Generadores. Grupos y Cosets: Grupos de Permutaciones, Orbitas, Ciclos y Grupos Alternantes, Introducción a Isomorfismos y el Teorema de Cayley, Cosets y el Teorema de Lagrange, Productos Directos y Grupos Abelianos Finitamente Generados. Homomorfismos y Grupos Factor: Homomorfismos, Grupos factor, grupos simples, series de grupos, grupos de acción sobre conjuntos, aplicaciones de G-conjuntos en combinatoria. Teoría Avanzada de Grupos: Teoremas de Sylow, Grupos abelianos libres, grupos libres. Anillos y campos: Anillos, Campos y dominios de integridad.

El curso está dirigido principalmente a estudiantes de matemáticas. Cubre los conceptos básicos del análisis que ya se trataron en los cursos de cálculo diferencial y de cálculo integral tales como función, sucesiones, límites, continuidad, integración de Riemann, series numéricas y de funciones, pero de forma rigurosa.

NÚMEROS COMPLEJOS: Conceptos básicos y representaciones. FUNCIONES ANALÍTICAS: Ecuaciones de Cauchy-Riemann, Funciones armónicas. FUNCIONES COMPLEJAS ELEMENTALES: exponencial, trigonométricas, hiperbólicas y logaritmo, Transformaciones con la función exponencial. INTEGRACIÓN COMPLEJA: Integrales de camino, Teorema de Cauchy-Goursat, Fórmula integral de Cauchy. SUCESIONES Y SERIES: Convergencia, Series de Taylor y de Laurent. RESIDUOS: El teorema de los residuos de Cauchy. APLICACIONES DE LOS RESIDUOS: Cálculo de integrales impropias, Integrales impropias en el análisis de Fourier, El lema de Jordan.

Números Complejos, álgebra de los complejos y geometría de los complejos. Aplicaciones conformes. Funciones analíticas. Funciones complejas elementales: exponencial, funciones trigonométricas, logaritmos. Integración compleja: teorema de Cauchy Goursat. Teorema de Liouville.  Sucesiones y series, series de potencias, series de Taylor y de Laurent. Cálculo de residuos. Representación conforme. Funciones armónicas.

Números Complejos. Funciones Analíticas. Funciones Elementales. Integrales. Teoremas de Cauchy-Goursat. Solución  Numérica de Ecuaciones en una Variable. Problemas de Valor Inicial en Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Métodos de solución de Sistemas Lineales, directos e iterativos. Solución de Sistemas de Ecuaciones no Lineales. Solución de problemas de frontera en Ecuaciones Diferenciales Parciales. Diferencias Finitas.

Métodos generales de resolución de ecuaciones de primer orden. Ecuaciones lineales de orden 2 o superior. Ecuaciones lineales de orden 2 con coeficientes variables. Aplicaciones a la física. Sistemas de ecuaciones de primer orden. Sistemas lineales homogéneos y no homogéneos. Aplicación de series de potencias a la solución de ecuaciones diferenciales. La transformada de Laplace. Series de Fourier.  Funciones ortogonales. Ecuaciones diferenciales parciales. Aplicaciones: ondas, vibraciones, conducción del calor.

Este curso es un primer acercamiento a la teoría de los sistemas dinámicos diferenciales autónomos, que son un tipo específico de ecuaciones diferenciales ordinarias. Un primer acercamiento a las ecuaciones diferenciales se tuvo en Cálculo Integral con Ecuaciones Diferenciales. El curso tiene como prerrequisito Cálculo Vectorial, que es el que le sigue a Cálculo Integral y Álgebra Lineal, y es donde se estudian las funciones de varias variables. Todo el bagaje matemático con el que llega el estudiante se usa en este curso introductorio.

 

El curso arranca estudiando los sistemas dinámicos lineales, para luego poder analizar el comportamiento local de sistemas más generales. Después sigue con las herramientas que permiten entender el comportamiento global.  La relevancia de toda esta teoría radica en su gran número de aplicaciones.

El objetivo principal de este curso es introducir los conceptos básicos de la belleza tema de la geometría diferencial a través del ejemplo de curvas y superficies, usando el cálculo y el álgebra lineal como las principales herramientas, muchos de los métodos interesantes son desarrollados para capturar las propiedades locales y globales de curvas y superficies.

El curso lo podemos dividir en dos, siendo la primera la probabilista y la segunda estadística inferencial. En la primera parte del curso el objetivo es familiarizar al estudiante con procesos no determinísticos, es decir con aquellos procesos con los cuales al ser realizados una vez no sabemos su resultado, pero si cuales pueden ser todos los posibles resultados, para ello al estudiante se le introduce en la teoría básica de probabilidad desde un enfoque axiomático, haciendo parte de esto los diferentes tipos de variables. En la segunda parte del curso el objetivo es dotar al estudiante de herramientas que le permitan a partir de una muestra aleatoria por inferir, concluir, etc., acerca de la población, es por eso que se busca la familiarización del estudiantes con los conceptos de: distribuciones muéstrales, estimación, prueba de hipótesis, entre otros. Un objetivo no menos importante es el inicio del estudiante en el manejo del paquete estadístico STATA y EXCEL, con el objetivo de aplicar los conceptos vistos en clase, ya que serán de gran importancia en su curso de Econometría.  

Espacios de probabilidad. Conteo, permutaciones, combinaciones, coeficientes multinomiales, espacio muestral, eventos, axiomas de probabilidad, eventos igualmente probables, probabilidad como función continua, como medida de credibilidad,  probabilidad condicional, fórmula de Bayes, eventos independientes, P(.|F) es una probabilidad, variables aleatorias (v.a), discretas, valor esperado, esperanza de una función de v.a, varianza, Bernoulli y Binomial, Poisson, otras discretas, Función de distribución acumulada, variables aleatorias continuas, esperanza y varianza, Uniforme, Normal, Exponencial, Otras continuas, Distribución de una función de una variable aleatoria, distribuciones conjuntas, variables aleatorias independientes, suma de v.a. independientes, distribución condicional, estadísticos de orden, Probabilidad conjunta de función de variable aleatoria, esperanza de sumas, momentos del número de eventos, covarianza, correlaciones, esperanza condicional, y predicción, Función generadora de momentos, Normal multivariada, Ley débil de los grande números, Teorema del límite central, Ley fuerte de los grandes números.

Varios problemas de la vida real se modelan usando ecuaciones algebraicas o diferenciales. El matemático que resuelve estos problemas debe asegurarse que la solución existe. Pero en muchos casos (casi todos) es imposible encontrar tal solución. Justamente el análisis numérico consiste en encontrar aproximaciones a dichas soluciones. Contenidos: Interpolación. Integración Numérica. Calculo matricial. Normas vectoriales y matriciales. Resolución directa Sistemas Lineales. Métodos iterativos. Métodos basados en Optimización. Ecuaciones con derivadas parciales: diferencias finitas y elementos finitos.

El curso tiene como objetivo desarrollar en forma rigurosa los temas de optimización estática, ver sus aplicaciones a la teoría del productor y del consumidor e introducir una componente dinámica por medio de ecuaciones diferenciales para, finalmente, combinar la parte dinámica con la optimización – Teoría de Control Óptimo, Cálculo de Variaciones y Programación Dinámica (Bellman).  Conjuntos convexos, funciones. Cóncavas, convexas, cuasi. Máximos y mínimos. Máximos y mínimos restringidos. Kuhn – Tucker.  Teorema de la envolvente - aplicaciones T del productor y T del consumidor. Ecuaciones diferenciales. Sistemas de ecuaciones diferenciales. Diagramas de fase. Ecuaciones en diferencia. Ecuaciones en diferencia - sistemas y diagramas de fase. Principio de Pontryagin. Cálculo de variaciones. Ecuación de Euler. Programación dinámica. Ecuaciones de Bellman.