MATE - Matemáticas

El estudiante podrá escoger una materia entre MATE2101- ALGEBRA ABSTRACTA 1 y MATE2201- ANALISIS 1.

Introducción a las diferentes áreas que componen el programa de Matemáticas. Acercamiento de los estudiantes a los profesores del Departamento a través de las diferentes charlas que los profesores hacen sobre sus áreas de trabajo. Aproximación a las experiencias de la vida matemática de cada profesor mediante entrevistas sobre su biografía académica. Iniciación al trabajo matemático mediante la elaboración de una pequeña monografía.

En este curso se pretende ir construyendo paso a paso una reflexión amplia sobre el tema del laberinto, a medida que se invita al estudiante a hacer un recorrido por la rica variedad de expresiones que ha alcanzado su representación, a lo largo de los tiempos y a lo ancho de las culturas. Esta indagación nos permitirá, a la vez, internarnos en campos tan diversos como la música (Bach, Monteverdi, Berio), la literatura (Sófocles, Virgilio, Las mil y una noches, Dante, Proust, Kafka, Borges, Perec, Eco), la arquelogía (Evans, Petrie, Hawass), la simbología de las tradiciones espirituales (Jung, Eliade, Guénon, Burckhardt), las artes plásticas (Da Vinci, Tintoretto, Piranesi, Watts, Picasso, Escher), las matemáticas (álgebras de Boole, grupos cíclicos), la mitografía (Apolodoro, Ovidio, Plutarco), la informática (algoritmos para modelar la salida de un laberinto) y los juegos (de estrategia, de la oca, tarot).

Este curso busca ayudar a los estudiantes a resolver dudas y conceptos del curso MATE1102 Matemática Estructural.

Este curso busca ayudar a los estudiantes a  resolver dudas y conceptos del curso MATE2201 Análisis 1.

En momentos privilegiados de las civilizaciones, se han unido el pensamiento, la mano y la luz en un inusual acto de armonía, y a las huellas que han quedado como resultado de esta forma de lenguaje mayor las denominamos catedrales, mandalas, pirámides, santuarios, pagodas, menhires, tabernáculos y templos. En este curso se invita a estudiar la estructura, el contexto y la función simbólica de unas de las edificaciones de culto más representativas de todos los tiempos. Los megalitos de Stonhenge, la pirámide “de Keops”, el oráculo de Delfos, el Tabernáculo de Israel, la Kaaba de La Meca, la catedral de Chartres, el laberinto de Creta y la pagoda de Horyu-ji son algunas de las construcciones más conocidas, ya sea a través de su relato mítico, o por sus vestigios arqueológicos, o en su funcionamiento vivo. Durante las clases enfocaremos nuestra atención en unas de ellas, escogidas de modo que sean distintivas de las culturas egipcia, griega, judía, cristiana, musulmán, celta y budista. Por su parte, los estudiantes podrán exponer en sus trabajos lo relativo a otras construcciones, que convoquen su interés y complementen el repertorio.

El curso pretende abrir la posibilidad de que los estudiantes de diversas disciplinas se aproximen al conocimiento de la teoría de los números, y a que puedan sumergirse en problemas interesantes y exigentes, desarrollando así sus habilidades analíticas.

Conjuntos, operaciones conjuntistas, demostración por elementos, álgebra de conjuntos. Teoría de números, principio del buen orden, principios de inducción, aplicaciones a conteo. Divisibilidad, algoritmo de la división, algoritmo de Euclides, números primos, congruencias, teorema chino de los residuos, pequeño teorema de Fermat. Relaciones, órdenes, relaciones de equivalencia, funciones, aplicaciones a conteo. Cardinalidad de conjuntos finitos e infinitos, teorema de Cantor-Schröder-Bernstein. Estructuras matemáticas, isomorfismo de estructuras, rudimentos de teoría de grupos.

La teoría de números ha determinado y sigue determinando en gran parte la historia de las matemáticas. Su estudio exige el desarrollo y ejercicio del raciocinio riguroso. Los problemas que plantean, muchos desconcertantes por su aparente simplicidad, han sido fuente de inspiración para la creación matemática a todos los niveles. Temas: Durante los primeros tres meses se verán temas como divisibilidad, primos, ecuaciones lineales, congruencias, residuos cuadráticos, funciones multiplicativas, ecuaciones diofantinas no lineales, fracciones continuas, aproximación de irracionales, distribución de los primos. Si queda tiempo, durante el último mes se verán temas escogidos por el instructor.

Vectores en el espacio Euclideo, norma y producto escalar.  Matrices y su álgebra, sistemas de ecuaciones lineales. Inversas de matrices cuadradas, sistemas homogéneos, subespacios y bases. Independencia y dimensión, el rango de una matriz. Transformaciones lineales en espacios Euclideos, transformaciones lineales del plano. Espacios vectoriales, conceptos básicos en espacios vectoriales, vectores en coordenadas. Transformaciones lineales y determinantes. Áreas volúmenes y producto cruz, el determinante de una matriz cuadrada, cálculo de determinantes y regla de Cramer. Valores y vectores propios, diagonalización y aplicaciones. Proyecciones, el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt, matrices ortogonales. Matriz de proyección y el método de cuadrados mínimos. Cambio de base, representaciones matriciales y similaridad. Diagonalización de formas cuadráticas. Aplicaciones a la geometría.

El contenido es el mismo de MATE-1105 pero con mayor profundidad y rigor. Vectores en el espacio Euclideo, norma y producto escalar.  Matrices y su álgebra, sistemas de ecuaciones lineales. Inversas de matrices cuadradas, sistemas homogéneos, subespacios y bases. Independencia y dimensión, el rango de una matriz. Transformaciones lineales en espacios Euclideos, transformaciones lineales del plano. Espacios vectoriales, conceptos básicos en espacios vectoriales, vectores en coordenadas. Transformaciones lineales y determinantes. Áreas volúmenes y producto cruz, el determinante de una matriz cuadrada, cálculo de determinantes y regla de Cramer. Valores y vectores propios, diagonalización y aplicaciones. Proyecciones, el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt, matrices ortogonales. Matriz de proyección y el método de cuadrados mínimos. Cambio de base, representaciones matriciales y similaridad. Diagonalización de formas cuadráticas. Aplicaciones a la geometría.

Repaso del curso anterior (Mate-1105) con mayor rigor: Espacios vectoriales, Subespacios, Combinaciones lineales, Bases y dimensión; Transformaciones lineales, núcleo e imagen; Representación matricial de una transformación lineal, Matriz de cambio de coordenadas, Espacio dual; Matrices elementales y sistemas de ecuaciones lineales; Determinantes, su caracterización como forma multilineal; Valores y vectores propios, diagonalizabilidad, subespacios invariantes, Teorema de Cayley-Hamilton; Espacios con Producto Interno: OPeñador adjunto, OPeñadores normales, autoadjuntos, unitarios y ortogonales; Proyección ortogonal y Teorema Espectral, Formas bilineales y cuadráticas. Aplicaciones a la teoría de la relatividad: Principio de relatividad de Einstein; Transformaciones de Lorentz. Forma Canónica de Jordan: Forma normal de Jordan; polinomio minimal. Álgebra Multilineal y Tensores: Tensores sobre un espacio vectorial; Ejemplos y aplicaciones.

Álgebra y aritmética: operaciones con fracciones, números reales, notación científica,  exponentes y radicales, polinomios, factorización,  expresiones racionales, ecuaciones, aplicaciones, desigualdades. Funciones: definición de función, gráficos de funciones, funciones lineales, pendiente, operaciones entre funciones, función compuesta, función inversa, distancia, punto medio, círculos. Funciones polinomiales y racionales: números complejos, funciones cuadráticas, funciones polinomiales, sus raíces y sus gráficas, funciones racionales y sus gráficas, desigualdades de funciones polinomiales y racionales, aplicaciones. Geometría y trigonometría: ángulos, triángulos semejantes, Teorema de Pitágoras, trigonometría en triángulos rectángulos, funciones trigonométricas, gráficos de funciones trigonométricas, identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas.

Funciones: álgebra de funciones, funciones trigonométricas, exponencial, funciones inversas, logaritmos, inversas trigonométricas, principios de resolución de problemas. Límites y derivadas: velocidad y tangentes, límite de una función, cálculo de límites, continuidad, límites al infinito, razones de cambio, derivadas, la función derivada, reglas de derivación, derivadas de funciones trigonométricas, regla de cadena,  derivación implícita, derivadas de logaritmos, derivadas de orden superior, funciones hiperbólicas. Aplicaciones de las derivadas: razones relacionadas, máximos y mínimos, Teorema del Valor Medio, derivadas y gráficas, Regla de l'Hôpital, trazado de curvas, optimización. Integrales: antiderivadas, áreas y distancia, integral definida, Teorema Fundamental del Cálculo, integración por sustitución, áreas entre curvas, volúmenes de sólidos de rotación por los métodos de rebanadas y de conchas cilíndricas. 

Este curso se recomienda a los estudiantes que traen mejores bases matemáticas del bachillerato, a los más interesados en esta disciplina y, en particular, a los estudiantes de matemáticas. En los distintos programas de estudio de la universidad, es equivalente al curso MATE-1203 y su contenido es el mismo, pero con mayor profundidad y rigor pues se imparte a estudiantes con mayor preparación y más competitivos. Funciones: álgebra de funciones, funciones trigonométricas, exponencial, funciones inversas, logaritmos, inversas trigonométricas, principios de resolución de problemas. Límites y derivadas: velocidad y tangentes, límite de una función, cálculo de límites, continuidad, límites al infinito, razones de cambio, derivadas, la función derivada, reglas de derivación, derivadas de funciones trigonométricas, regla de cadena,  derivación implícita, derivadas de logaritmos, derivadas de orden superior, funciones hiperbólicas. Aplicaciones de las derivadas: razones relacionadas, máximos y mínimos, Teorema del Valor Medio, derivadas y gráficas, Regla de l'Hôpital, trazado de curvas, optimización. Integrales: antiderivadas, áreas y distancia, integral definida, Teorema Fundamental del Cálculo, integración por sustitución, áreas entre curvas, volúmenes de sólidos de rotación por los métodos de rebanadas y de conchas cilíndricas.

Se comienza con las ecuaciones de planos, rectas, superficies cilíndricas y superficies cuádricas en 3D. A partir del concepto de vector se definen campos escalares, campos vectoriales y en general funciones vectoriales. Se tratan los principales temas del cálculo infinitesimal en varias variables como son límites, derivadas e integrales. Todo el curso está orientado a estudiar los teoremas fundamentales del cálculo vectorial: El teorema de Green, el teorema fundamental para integrales de línea, el teorema de Stokes y el teorema de Gauss. El curso también incluye varias aplicaciones de estas ideas: Optimización libre y optimización restringida (multiplicadores de Lagrange), centros de masa y momentos de inercia, planos tangentes, campos vectoriales conservativos, potencial escalar, gradiente, rotacional y divergencia.

Curvas en el plano y en el espacio. Superficies cilíndricas y cuádricas. Rectas y Planos. Derivadas parciales, regla de la cadena. Diferenciación en campos escalares y vectoriales: definiciones, técnicas y aplicaciones. Noción de gradiente. Máximos y mínimos de funciones de varias variables. Multiplicadores de Lagrange. Integrales de línea, múltiples, de superficie y de volumen. Teoremas de Green, Stokes y Gauss. Aplicaciones físicas y geométricas. La diferencia con MATE-1207 no es el contenido, es la profundidad y  rigurosidad de los temas tratados.

En éste curso se introducen los temas de cálculo en varias variables – diferenciación e integración y, principalmente, el tema de  optimización con y sin restricciones.  Uno de los objetivos es que el estudiante vea la aplicación de estos temas a la Economía.  Haciendo énfasis en el uso de las matemáticas, las técnicas tienen aplicaciones no solamente en el ámbito económico sino también en otras áreas como Administración, Ingeniería, Física, o Biología.  El estudiante también se va familiarizándose con un rigor matemático, pues se demuestran formalmente muchos de los resultados y teoremas. Funciones de varias variables. Derivadas parciales, Formas cuadráticas. Regla de la Cadena. Derivadas de funciones definidas implícitamente. Elasticidades parciales. Funciones homogéneas. Sistemas de Ecuaciones. El Teorema de la Función Implícita. Optimización. Máximos y Mínimos. Teoremas de los Valores Extremos. Puntos extremos locales. Conjuntos convexos. Funciones cóncavas y convexas. Pruebas de segundas derivadas. Métodos de los multiplicadores de Lagrange.

Función. Gráficos de funciones. Funciones cuadráticas. OPeñaciones en funciones. Funciones inversas. Polinómicas y funciones racionales. Funciones exponencial, logarítmica y trigonométricas. Escalas logarítmicas. Transformaciones de gráficas. Translación vertical y horizontal. Problemas de tangente y velocidad. Límite de una función. Límite. Continuidad. Límites al infinito. Tangentes, velocidades y otros índices del cambio. Derivadas. Función derivada. Regla de derivación. Reglas del producto y cociente. Derivadas en ciencias naturales y sociales. Derivadas de funciones trigonométricas. Regla de cadena. Derivadas de orden superior. Diferenciación implícita. Teorema del valor medio. Antiderivadas. Áreas y distancias. Integral definida. Teorema fundamental del cálculo. Integral indefinida. Regla de substitución. Logaritmo como integral. Áreas entre curvas. Valor medio de una función. Integración por partes.

Repaso de Integral. Técnicas de Integración. Ecuaciones Diferenciales. Equilibrios y estabilidad. Puntos y vectores. La norma de un vector. Producto de vector. Líneas en el plano. El producto escalar. Ecuación paramétrica de la recta. Funciones de varias variables. Derivadas parciales. Planos tangentes, funciones derivables y linealización. La regla de la cadena. Derivada direccional y gradiente, Máximos y mínimos. Línea de regresión. Integrales múltiples. Sistemas lineales. Sistemas autónomos no lineales y aplicaciones a la biología.

Integración por partes, Integrales trigonométricas, sustitución trigonométrica, fracciones parciales, estrategias de integración, integrales impropias, longitud de arco, área de superficie de revolución, aplicaciones a otras disciplinas, modelación con ecuaciones diferenciales de primer orden, ecuaciones separables, crecimiento y decaimiento exponencial, ecuación logística, ecuación lineal de primer orden. Ecuaciones paramétricas, cálculo con ecuaciones paramétricas, coordenadas polares, áreas y longitud en coordenadas polares, sucesiones, series, criterio de la integral, criterios de comparación, series alternantes, criterios de la razón y la raíz n-ésima, series de potencias, representación en series de potencias, series de Taylor y Maclaurin, números complejos, ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden de coeficientes constantes.

En contenido, este curso es similar al curso MATE-1214, pero el tratamiento de los temas se hace más a profundidad. El contenido cubre integración por partes, integrales trigonométricas, sustitución trigonométrica, fracciones parciales, estrategias de integración, integrales impropias, longitud de arco, área de superficie de revolución, aplicaciones a otras disciplinas, modelación con ecuaciones diferenciales de primer orden, ecuaciones separables, crecimiento y decaimiento exponencial, ecuación logística, ecuación lineal de primer orden, ecuaciones paramétricas, cálculo con ecuaciones paramétricas, coordenadas polares, áreas y longitud en coordenadas polares, sucesiones, series, criteriode la integral, criterios de comparación, series alternantes, criterios de la razón y la raíz n-ésima, series de potencias, representación en series de potencias, series de Taylor y Maclaurin, números complejos, ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden de coeficientes constantes.

En este curso se desarrolla el cálculo para funciones de varias variables, métodos de optimización para funciones de varias variables, aplicaciones de integrales múltiples, la integral de línea y de superficie. Se estudiara el teoremas de Green, Stokes y el Teorema de la Divergencia.

El énfasis será en el aprendizaje orientado a problemas y el uso de herramientas computacionales y de impresión 3d para aplicar los conceptos del curso.

Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica clásica son:

1) Dada una ecuación, determinar su interpretación geométrica o su representación.

2) Dada una figura geométrica o una condición geométrica, determinar su ecuación o representación analítica.

La geometría analítica es el lenguaje que une la geometría y el álgebra. Hoy día estos mismos problemas siguen siendo válidos pero dentro de un contexto más general. Es normal que se encuentren algunos temas comunes con el curso de Álgebra Lineal por la naturaleza de la Geometría Analítica la cual nace de un "matrimonio'' entre el álgebra y la Geometría, aunque los temas tienen enfoques diferentes.

El objetivo primordial del curso es desarrollar en el estudiante ambos lenguajes, el geométrico y el algebraico y capacitarlo para poder  pasar de un lenguaje al otro sin ningún problema. Sobre todo el curso es muy importante para la formación de un matemático joven porque apoya su entendimiento de las matemáticas como un sistema integral.

Se espera que al finalizar el curso, el estudiante tenga una comprensión de la relación geometría arte y que domine técnicas para construir algunos diseños decorativos, con una sustentación geométrica y con apoyo en software de libre acceso. El curso aborda momentos importantes en el desarrollo de la Geometría y su correspondiente manifestación artística: Conceptos básicos de geometría. Topología intuitiva. Movimientos rígidos. Mosaicos. Razones, proporciones y semejanza. Poliedros. Geometría fractal.

Se busca lograr que el estudiante descubra por sí mismo la belleza oculta de la Matemáticas en uno de sus áreas más representativas, a saber, la Geometría. Mediante el estudio previo (informal) de la Geometría Euclidiana y algunas no Euclidianas, así como de sus aplicaciones en arte, arquitectura y física, se pretende que el estudiante comprenda (de un modo no técnico) la noción de verdad tanto en Matemáticas como en la ciencia en general, así como su evolución a través de la Historia.

Curso introductorio que pretende dar herramientas descriptivas y de inferencia en el manejo de datos en un experimento de tipo social, para encontrar conclusiones sobre el comportamiento de un individuo con respecto a su entorno social, político, económico, etc. Contenido: términos básicos; Análisis descriptivo, histogramas, ojivas, medidas de tendencia central, de dispersión, interpretación de gráficas. Introducción a la probabilidad: definición de evento, función de densidad de probabilidad y sus reglas, eventos mutuamente excluyentes, eventos independientes, probabilidad condicional. Variables aleatorias discretas, distribución binomial, media y desviación estándar de la distribución binomial, distribución normal estándar. El teorema del límite central y aplicaciones. Estimación puntual y por intervalo de una media, dos medias, una y dos proporciones. Pruebas de hipótesis para una y dos medias y una y dos proporciones. Pruebas de independencia.

Estimación puntual y por intervalo, pruebas de hipótesis, prueba de hipótesis e intervalos de confianza para muestras pequeñas, muestras dependientes e independientes, pruebas para la diferencia de dos medias de poblaciones independientes, estimación de σ (desviación estándar), pruebas para la desviación estándar de una población, pruebas para las desviaciones estándar de dos poblaciones independientes, estimación de una proporción, pruebas referentes a una proporción, pruebas referentes a dos proporciones, tablas de contingencia, pruebas de bondad de ajuste, regresión lineal simple, análisis de regresión, análisis de correlación, regresión lineal múltiple, prueba F y relación con la regresión lineal, introducción al análisis de varianza, descomposición de la varianza, análisis en un problema de clasificación de un factor, comparaciones a priori, pruebas post-hoc. Pruebas no paramétricas: prueba del signo, prueba del rango, pruebas no paramétricas, prueba del rango signado de Wilcoxon, prueba de Kruskal- Wall

El objetivo de este curso es familiarizar al estudiante con los conceptos básicos de probabilidad y con las distribuciones más usadas. Dicho conocimiento no solamente será útil para un curso posterior de Estadística o Procesos Estocásticos, sino que es directamente aplicable a muchas situaciones donde reina el azar o la aleatoriedad. Métodos Combinatorios. Coeficientes binomiales. Espacios Muestrales. Probabilidad, reglas. Probabilidad condicional,  independencia. Teorema de Bayes. Distribuciones de probabilidades. Variables Aleatorias continuas, funciones de densidad. Distribuciones multivariadas. Distribuciones marginales. Distribuciones condicionales. Valor esperado. Momentos, Teorema de Chebyshev. Funciones generatrices de momentos. Momentos producto. Momentos de combinaciones Lineales, esperanza condicional. Uniforme, Bernoulli, Binomial. Binomial negativa, geométrica, hipergeométrica. Poisson. Multinomial, hipergeométrica multivariada. Uniforme, gamma, exponencial ,j-i cuadrada. La distribución beta. La distribución normal. Aproximación normal a la binomial. Normal divariada. Funciones de variables aleatorias. Técnica de transformación: una variable. Técnica de transformación: varias variables. Técnica de función generatriz de momentos. Distribuciones de muestreo. Distribución de la media.

El objetivo de este curso es familiarizar al estudiante con la inferencia estadística, con la estimación y pruebas de hipótesis concernientes a los parámetros de una población y con modelos de regresión lineal múltiple. Se expone la teoría acompañada de ejemplos prácticos y prácticas con paquetes estadísticos como SPSS, SAS o STATA. Distribución de la media. Distribución ji cuadrada. Distribución t. Distribución F.  Estadísticas de orden. Estimadores insesgados. Eficiencia. Consistencia. Suficiencia. El método de momentos. El método de máxima verosimilitud. Estimación de medias. Estimación de diferencia entre medias. Estimación de proporciones. Estimación de diferencia entre proporciones. Estimación de varianzas y cociente. Pruebas de hipótesis. Lema de Neyman Pearson. Función potencia, razón de verosimilitudes. Pruebas de medias. Pruebas de diferencia entre medias. Pruebas de varianzas. Pruebas de proporciones. Análisis de una tabla rXc. Bondad de ajuste. Método de los mínimos cuadrados. Análisis de regresión normal. Análisis de correlación normal. Regresión lineal múltiple. Notación matricial.

Sistemas de ecuaciones lineales. Matrices. Adición y multiplicación de matrices. Inversa de una matriz. Determinante. Estadística descriptiva: términos básicos, medidas de tendencia central y de dispersión. Análisis descriptivo, gráficas de Pareto, estogramas, interpretación de gráficas, datos divariados. Matemáticas discretas: Conjuntos, operaciones de conjuntos, conteo. Principios básicos de conteo. Permutaciones. Combinaciones. Relaciones, relación de equivalencia, particiones, coeficiente binomial. Funciones: principio del palomar, composición, simetría. Probabilidad: introducción a la probabilidad, definición de evento, función de probabilidad, reglas de la función de probabilidad, eventos mutuamente excluyentes, eventos independientes, probabilidad condicional, regla de Bayes, variables aleatorias discretas, distribuciones binomial, geométrica, y Poisson. El valor esperado, varianza y desviación estándar de las distribuciones discretas, distribuciones continuas: normal, uniforme y exponencial. Herramientas de estadística. Intervalos de confianza. Regresión Lineal.

Conceptos preliminares: Conjuntos y Relaciones de Equivalencia. Grupos y SubGrupos: OPeñaciones Binarias, Grupos y Subgrupos, Grupos Cíclicos y Generadores. Grupos y Cosets: Grupos de Permutaciones, Orbitas, Ciclos y Grupos Alternantes, Introducción a Isomorfismos y el Teorema de Cayley, Cosets y el Teorema de Lagrange, Productos Directos y Grupos Abelianos Finitamente Generados. Homomorfismos y Grupos Factor: Homomorfismos, Grupos factor, grupos simples, series de grupos, grupos de acción sobre conjuntos, aplicaciones de G-conjuntos en combinatoria. Teoría Avanzada de Grupos: Teoremas de Sylow, Grupos abelianos libres, grupos libres. Anillos y campos: Anillos, Campos y dominios de integridad.

El curso está dirigido principalmente a estudiantes de matemáticas. Cubre los conceptos básicos del análisis que ya se trataron en los cursos de cálculo diferencial y de cálculo integral tales como función, sucesiones, límites, continuidad, integración de Riemann, series numéricas y de funciones, pero de forma rigurosa.

NÚMEROS COMPLEJOS: Conceptos básicos y representaciones. FUNCIONES ANALÍTICAS: Ecuaciones de Cauchy-Riemann, Funciones armónicas. FUNCIONES COMPLEJAS ELEMENTALES: exponencial, trigonométricas, hiperbólicas y logaritmo, Transformaciones con la función exponencial. INTEGRACIÓN COMPLEJA: Integrales de camino, Teorema de Cauchy-Goursat, Fórmula integral de Cauchy. SUCESIONES Y SERIES: Convergencia, Series de Taylor y de Laurent. RESIDUOS: El teorema de los residuos de Cauchy. APLICACIONES DE LOS RESIDUOS: Cálculo de integrales impropias, Integrales impropias en el análisis de Fourier, El lema de Jordan.

Números Complejos, álgebra de los complejos y geometría de los complejos. Aplicaciones conformes. Funciones analíticas. Funciones complejas elementales: exponencial, funciones trigonométricas, logaritmos. Integración compleja: teorema de Cauchy Goursat. Teorema de Liouville.  Sucesiones y series, series de potencias, series de Taylor y de Laurent. Cálculo de residuos. Representación conforme. Funciones armónicas.

Números Complejos. Funciones Analíticas. Funciones Elementales. Integrales. Teoremas de Cauchy-Goursat. Solución  Numérica de Ecuaciones en una Variable. Problemas de Valor Inicial en Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Métodos de solución de Sistemas Lineales, directos e iterativos. Solución de Sistemas de Ecuaciones no Lineales. Solución de problemas de frontera en Ecuaciones Diferenciales Parciales. Diferencias Finitas.

Métodos generales de resolución de ecuaciones de primer orden. Ecuaciones lineales de orden 2 o superior. Ecuaciones lineales de orden 2 con coeficientes variables. Aplicaciones a la física. Sistemas de ecuaciones de primer orden. Sistemas lineales homogéneos y no homogéneos. Aplicación de series de potencias a la solución de ecuaciones diferenciales. La transformada de Laplace. Series de Fourier.  Funciones ortogonales. Ecuaciones diferenciales parciales. Aplicaciones: ondas, vibraciones, conducción del calor.

Este curso es un primer acercamiento a la teoría de los sistemas dinámicos diferenciales autónomos, que son un tipo específico de ecuaciones diferenciales ordinarias. Un primer acercamiento a las ecuaciones diferenciales se tuvo en Cálculo Integral con Ecuaciones Diferenciales. El curso tiene como prerrequisito Cálculo Vectorial, que es el que le sigue a Cálculo Integral y Álgebra Lineal, y es donde se estudian las funciones de varias variables. Todo el bagaje matemático con el que llega el estudiante se usa en este curso introductorio.

 

El curso arranca estudiando los sistemas dinámicos lineales, para luego poder analizar el comportamiento local de sistemas más generales. Después sigue con las herramientas que permiten entender el comportamiento global.  La relevancia de toda esta teoría radica en su gran número de aplicaciones.

El objetivo principal de este curso es introducir los conceptos básicos de la belleza tema de la geometría diferencial a través del ejemplo de curvas y superficies, usando el cálculo y el álgebra lineal como las principales herramientas, muchos de los métodos interesantes son desarrollados para capturar las propiedades locales y globales de curvas y superficies.

El curso lo podemos dividir en dos, siendo la primera la probabilista y la segunda estadística inferencial. En la primera parte del curso el objetivo es familiarizar al estudiante con procesos no determinísticos, es decir con aquellos procesos con los cuales al ser realizados una vez no sabemos su resultado, pero si cuales pueden ser todos los posibles resultados, para ello al estudiante se le introduce en la teoría básica de probabilidad desde un enfoque axiomático, haciendo parte de esto los diferentes tipos de variables. En la segunda parte del curso el objetivo es dotar al estudiante de herramientas que le permitan a partir de una muestra aleatoria por inferir, concluir, etc., acerca de la población, es por eso que se busca la familiarización del estudiantes con los conceptos de: distribuciones muéstrales, estimación, prueba de hipótesis, entre otros. Un objetivo no menos importante es el inicio del estudiante en el manejo del paquete estadístico STATA y EXCEL, con el objetivo de aplicar los conceptos vistos en clase, ya que serán de gran importancia en su curso de Econometría.  

Espacios de probabilidad. Conteo, permutaciones, combinaciones, coeficientes multinomiales, espacio muestral, eventos, axiomas de probabilidad, eventos igualmente probables, probabilidad como función continua, como medida de credibilidad,  probabilidad condicional, fórmula de Bayes, eventos independientes, P(.|F) es una probabilidad, variables aleatorias (v.a), discretas, valor esperado, esperanza de una función de v.a, varianza, Bernoulli y Binomial, Poisson, otras discretas, Función de distribución acumulada, variables aleatorias continuas, esperanza y varianza, Uniforme, Normal, Exponencial, Otras continuas, Distribución de una función de una variable aleatoria, distribuciones conjuntas, variables aleatorias independientes, suma de v.a. independientes, distribución condicional, estadísticos de orden, Probabilidad conjunta de función de variable aleatoria, esperanza de sumas, momentos del número de eventos, covarianza, correlaciones, esperanza condicional, y predicción, Función generadora de momentos, Normal multivariada, Ley débil de los grande números, Teorema del límite central, Ley fuerte de los grandes números.

Varios problemas de la vida real se modelan usando ecuaciones algebraicas o diferenciales. El matemático que resuelve estos problemas debe asegurarse que la solución existe. Pero en muchos casos (casi todos) es imposible encontrar tal solución. Justamente el análisis numérico consiste en encontrar aproximaciones a dichas soluciones. Contenidos: Interpolación. Integración Numérica. Calculo matricial. Normas vectoriales y matriciales. Resolución directa Sistemas Lineales. Métodos iterativos. Métodos basados en Optimización. Ecuaciones con derivadas parciales: diferencias finitas y elementos finitos.

El curso tiene como objetivo desarrollar en forma rigurosa los temas de optimización estática, ver sus aplicaciones a la teoría del productor y del consumidor e introducir una componente dinámica por medio de ecuaciones diferenciales para, finalmente, combinar la parte dinámica con la optimización – Teoría de Control Óptimo, Cálculo de Variaciones y Programación Dinámica (Bellman).  Conjuntos convexos, funciones. Cóncavas, convexas, cuasi. Máximos y mínimos. Máximos y mínimos restringidos. Kuhn – Tucker.  Teorema de la envolvente - aplicaciones T del productor y T del consumidor. Ecuaciones diferenciales. Sistemas de ecuaciones diferenciales. Diagramas de fase. Ecuaciones en diferencia. Ecuaciones en diferencia - sistemas y diagramas de fase. Principio de Pontryagin. Cálculo de variaciones. Ecuación de Euler. Programación dinámica. Ecuaciones de Bellman.

Asistencia y participación activa en un seminario regular del Departamento.

Anillos, dominios de integridad, campos. Extensiones algebraicas y trascendentes. Dominios de factorización única y dominios euclidianos. Automorfismos de campo, teoría de Galois y solubilidad de ecuaciones.

Aprender el uso de métodos algebraicos (valores propios, acciones de grupos, cuerpos finitos) para resolver problemas fundamentales y aplicables en la combinatoria.
Conteo de caminos y árboles generadores en grafos, la transformada de Radon, caminos aleatorios, conteo bajo acciones de grupos, diagramas y tableaux de Young, y la propiedad de Sperner. Las aplicaciones de estos temas incluyen la topología, la teoría de redes eléctricos y la teoría de representaciones.

Este curso es una introducción con énfasis matemático a la lógica. El contenido mínimo del curso incluye el estudio del cálculo de proposiciones y de predicados: simbolización, sintaxis, semántica, deducción formal, teoremas de validez y completitud para estos cálculos. Se da una introducción a calculabilidad: funciones recursivas, funciones Turing-calculables, equivalencia entre ellas. Se estudian algunas relaciones entre calculabilidad y propiedades formales de los cálculos lógicos estudiados.

La siguiente lista contiene más temas de los que se podrán cubrir en un semestre. El programa se adaptará a los intereses y formación previa del grupo de estudiantes.

0. Cálculo de predicados. (Supondremos conocimiento previo de los conceptos y resultados básicos del cálculo de predicados de esta sección, aunque se podría incluir un rápido repaso). Lenguajes de primer orden. Fórmulas, sentencias. Estructuras. Subestructuras de una estructura, inmersion de una estructura en otra, isomorfismo. Verdad en una estructura, validez lógica. Sistemas deductivos. Un sistema axiomático para la lógica de primer orden. El teorema de Completitud, el teorema de compacidad.                           1.Computabilidad e incompletitud. Nociones básicas de computabilidad. Máquinas de Turing. El problema de la parada. Funciones primitivas recursivas, funciones recursivas. Conjuntos recursivamente enumerables, conjuntos recursivos. Aritmética de Peano. Aritmetización del lenguaje, números de Godel. Representabilidad de relaciones y funciones recursivas. El teorema de incompletitud de Godel.

2. Nociones de teoría de modelos. Equivalencia elemental de estructuras. Subestructuras elementales. Teorema de Lowenheim Skolem. Apectos de categoricidad. Ejemplos Tipos. Realización de tipos y omisión de tipos.Modelos saturados. Modelos atómicos. Modelos numerables de teorías completas. Teoría de Fräissé. Ultraproductos y ultrapotencias.

3. Teoría Axiomática de Conjuntos. Axiomas de Zermelo Fraenkel. Propiedades básicas de los conjuntos bien ordenados. Inducción transfinita y definiciones por recursión. Ordinales. Aritmética de ordinales. El axioma de elección y algunos enunciados equivalentes. Cardinales y una introducción a la aritmética de cardinales. Cofinalidad, cardinales regulares, cardinales inaccesibles. Conjuntos cerrados no acotados y conjuntos estacionarios.

Las lógicas modales son una herramienta muy útil de modelaje y análisis en disciplinas tan diversas como computación, filosofía y lingüística. Desde el punto de vista matemático, el estudio de éstas lógicas ofrece una gama variada de resultados teóricos interesantes y métodos de demostración. En este curso el estudiante obtendrá los fundamentos básicos para profundizar en el estudio de la teoría de lógicas modales, a partir de la perspectiva de la semántica relacional de estas lógicas en el caso proposicional. Estos fundamentos incluyen técnicas básicas de demostración, varios teoremas de correspondencia, resultados sobre decibilidad y ejemplos de aplicaciones a otras disciplinas.

Este curso está dirigido a estudiantes de matemáticas y estudiantes de otras ciencias que quieran usar la teoría de grupos en su carrera. Profundizaremos y extenderemos las ideas y construcciones que aparecen en el curso Álgebra Abstracta I para estudiar grupos de permutaciones y sus aplicaciones en la combinatoria y en la teoría de representaciones. Construcciones y estructura del grupo de permutaciones S_n y sus subgrupos, órbitas y estabilizadores, transitividad y k-transitividad, productos semidirectos y productos de corona, grupos primitivos y imprimitivos, permutaciones de conjuntos infinitos, y representaciones y caracteres de S_n.

El curso tiene como propósito la presentación teórica de las ecuaciones básicas da la Física Matemática tales como las ecuaciones de Laplace y Poisson, las ecuaciones de transmisión de calor y de onda, los sistemas de ecuaciones en derivadas parciales de tipo Navier-Stokes y similares. Una de las características del curso es la deducción detallada de todos los resultados con demostraciones. El curso tiene un énfasis teórico y es orientado principalmente a los estudiantes de las carreras Matemática y Física, aunque también puede ser útil para los estudiantes de Ingeniería que están interesados en una avanzada base teórica.

La geometría Riemanniana ha sido una de las áreas más importantes de las matematicas desde su inicio, en el siglo XIX, y sus aplicaciones en física teórica (en relatividad general, en particular) revolucionaron nuestra concepción del mundo. El curso que se presenta a continuación tiene como objetivo introducir las ideas fundamentales y las herramientas básicas de la geometría Riemanniana, presentando al mismo tiempo los resultados más importantes en el área y algunas de sus aplicaciones (clásicas y recientes) en el estudio de la topología de variedades diferenciales.

Introducción a las variedades: Topología general. Variedades topológicas. Funciones de varias variables: Diferenciabilidad de funciones de varias variables. Diferenciabilidad de funciones de R^n en R^m. Espacio de vectores tangentes a un punto en R^n. Otra definición de Ta (R^n). Campos vectoriales de subconjuntos abiertos de R^n. El Teorema de la Función Inversa. El Rango de una función. Variedades diferenciables y subvariedades: Definición de variedad diferenciable. Funciones diferenciables entre variedades. Rango de una función. Inmersiones. Subvariedades. Campos vectoriales en una variedad: El espacio tangente en un punto a una variedad. Campos vectoriales. Tensores y campos tensoriales en variedades: Covectores tangentes. Formas bilineales. Campos tensoriales. Multiplicación de tensores. Derivada exterior. Integración en variedades. Integración en variedades. Variedades con borde. El Teorema de Stokes.

La topología es la rama de las matemáticas dedicada al estudio de las propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por deformaciones continuas. La disciplina origina como una formalización y generalización de conceptos, tales como límite y transformación continua que aparecen en análisis y en geometría. En el curso se da una presentación básica a los conceptos de esta disciplina.

El alumno será capaz de manejar los principales modelos de la teoría moderna de procesos estocásticos y sus aplicaciones. Cadenas de Markov: Definiciones y ejemplos. Construcción y propiedades.  Clasificación de estados y de cadenas. Cadenas de Markov contables.  Teoremas del Límite. Distribución estacionaria. Cadenas de Markov finitas. Procesos de Renovación:   Ecuación de Renovación. Leyes de números grandes. Edad y vida residual. Procesos puntuales: Generalizaciones de los procesos de Poisson. Proceso no homogéneo. Procesos Compuestos de Poisson. Cadenas de Markov en tiempo continuo: Introducción. Estabilidad. La Propiedad de Markov. Ecuaciones “backward” y matriz generadora. Método de Trnsformada de Laplace. Redes de Colas.

Métodos de estimación: puntual por intervalos de confianza. Métodos de los momentos, mínimos cuadrados, máxima verosimilitud. Teoría de optimalidad: Criterios de estimación, UMVU, la información. Estimadores consistentes, distribución asintótica, estimadores eficientes, insesgasdos. Intervalos de confianza y Pruebas de hipótesis. Lema de Neyman- Pearson. Razón de verosimilitud. Pruebas de ajuste, tablas de contingencia. Modelos lineales, Teorema de Gauss- Markov, Pruebas en modelos lineales.

El curso tiene dos objetivos principales: Por una parte familiarizar al estudiante con las ideas  básicas de la geometría convexa y las clases principales de conjuntos convexos importantes en optimización: politopos, conos cuadráticos y espectrahedros. Por otra parte el curso quiere enseñar al estudiante a modelar y resolver problemas concretos de optimización   (principalmente provenientes de finanzas, estadística, ingeniería y matemáticas puras) mediante el uso de computadores (específicamente, aprenderán a usar el lenguaje AMPL que permite resolver problemas a gran escala en la nube).

Este curso busca formalizar el pensamiento estratégico  para la toma de decisiones en problemas que involucran interacciones entre agentes. Está dirigido a estudiantes que no sólo valoran el rigor formal en la formulación y análisis de los problemas, sino que también están interesados en la relación entre teoría y las aplicaciones. En el curso se desarrollan los conceptos relacionados con los juegos no cooperativos, cooperativos y evolutivos. Se analizan formalmente las ideas de racionalidad y equilibrio en juegos de diferente naturaleza, teniendo en cuenta la presencia de incertidumbre y utilizando diferentes métodos de solución. Se estudian aplicaciones en economía, finanzas, elección social, biología, ingeniería y redes, entre otras disciplinas.

Entrenamiento en metodología de la enseñanza. Prácticas de micro-enseñanza sobre manejo de preguntas, uso de tablero y sesión de diagnóstico. Instrucciones previas a cada clase, observaciones sobre su desarrollo, elaboración de exámenes. El estudiante dicta una sección de problemas de una magistral bajo la dirección de un profesor del Departamento.

Instrucciones para dictar clase, lectura y discusión de artículos en Educación Matemática elaboración de exámenes, observaciones. El estudiante dicta un curso bajo la dirección de un profesor del Departamento.

Elaboración de un trabajo escrito en un área específica de las matemáticas, en el cual se demuestre capacidad para la investigación y para la exposición de un tema con todos los requisitos de claridad, corrección y estilo apropiado.

En el curso se explica la metodología para encontrar temas de investigación en el área de las Matemáticas.

En este curso los estudiantes asisten al Coloquio de nuestro departamento para poder de esta forma conocer temas avanzados de investigación que podrían ser el objeto de un proyecto de grado. Al final del curso los estudiantes tienen que escoger un tema de proyecto de grado y escribir una propuesta de trabajo aprobada por un profesor de planta del departamento. El Coloquio puede ser reemplazado por la asistencia y participación activa en un seminario regular del Departamento.

 

Este curso lo deben inscribir los estudiantes de pregrado que planean recibir su grado el semestre siguiente.

Se trata de estudiar, un tema avanzado en el área de especialización del estudiante. Las sesiones serán coordinadas por el profesor y el estudiante participa activamente en éste.

Se trata de estudiar, un tema avanzado en el área de especialización del estudiante. Las sesiones serán coordinadas por el profesor y el estudiante participa activamente en éste.

Se trata de estudiar, un tema avanzado en el área de especialización del estudiante. Las sesiones serán coordinadas por el profesor y el estudiante participa activamente en éste.

Se trata de estudiar, un tema avanzado en el área de especialización del estudiante. Las sesiones serán coordinadas por el profesor y el estudiante participa activamente en éste.

Este curso es una introducción a las herramientas matemáticas fundamentales para el modelamiento. Se busca familiarizar a los estudiantes, que vienen de una carrera en la que se usa poco la matemática, con conceptos de los cursos del ciclo de matemáticas de las ingenierías que se usan en modelos determinísticos.

El contenido del curso incluye los siguientes temas: Anillos e Ideales. Módulos. Anillos y módulos de fracciones. Descomposición primaria. Dependencia entera y Valoraciones. Condiciones de cadena. Anillos noetherianos. Anillos de Artin. Anillos de valoración discreta y dominios de Dedekind. Completaciones. Teoría de la dimensión y si queda tiempo, otros temas que el instructor considere apropiados.

El contenido del curso incluye los siguientes temas, que son expuestos esencialmente en el orden descrito:
1) Teoría de grupos: subgrupos y grupos cociente, acciones de grupos en conjunto y teoremas de Sylow. El teorema de estructura de grupos abelianos finitamente generados. Ejemplos centrales: grupos cíclicos, alternantes, simétricos y dihedrales. Los tres teoremas de isomorfismo de Noether.
2) Álgebra lineal: espacios vectoriales, aplicaciones lineales, determinantes, diagonalización, forma de Jordan.
3) Anillos: ideales (a izquierda y a derecha), anillos cociente, tres teoremas del isomorfismo de Noether. Ejemplos centrales: anillos polinomiales en una o varias variables, matrices, DIPs.
4) Campos: extensiones de campos, extensiones algebraicas, extensiones trascendentes, clausura algebraica, explicación del porqué el álgebra lineal funciona mejor sobre campos algebraícamente cerrados y explicación de cómo pasar a uno de ellos. Ejemplos centrlaes: Q, R, C y el campo de q elementos.
5) Módulos: submódulos, módulos cociente(caso especial: espacio vectorial dual y espacio vectorial cociente). Tres teoremas de isomorfismo de Noether. Teoremas de estructura para módulos sobre DIPs (corolario: forma canónica de Jordan y teorema de estructura para grupos abelianos). Ejemplos centrales: módulos sobre los anillos explicados anteriormente.

Aprender el uso de métodos algebraicos (valores propios, acciones de grupos, cuerpos finitos) para resolver problemas fundamentales y aplicables en la combinatoria.
Conteo de caminos y árboles generadores en grafos, la transformada de Radon, caminos aleatorios, conteo bajo acciones de grupos, diagramas y tableaux de Young, y la propiedad de Sperner. Las aplicaciones de estos temas incluyen la topología, la teoría de redes eléctricos y la teoría de representaciones.

La siguiente lista contiene más temas de los que se podrán cubrir en un semestre. El programa se adaptará a los intereses y formación previa del grupo de estudiantes.

0. Cálculo de predicados. (Supondremos conocimiento previo de los conceptos y resultados básicos del cálculo de predicados de esta sección, aunque se podría incluir un rápido repaso). Lenguajes de primer orden. Fórmulas, sentencias. Estructuras. Subestructuras de una estructura, inmersion de una estructura en otra, isomorfismo. Verdad en una estructura, validez lógica. Sistemas deductivos. Un sistema axiomático para la lógica de primer orden. El teorema de Completitud, el teorema de compacidad.                           1.Computabilidad e incompletitud. Nociones básicas de computabilidad. Máquinas de Turing. El problema de la parada. Funciones primitivas recursivas, funciones recursivas. Conjuntos recursivamente enumerables, conjuntos recursivos. Aritmética de Peano. Aritmetización del lenguaje, números de Godel. Representabilidad de relaciones y funciones recursivas. El teorema de incompletitud de Godel.

2. Nociones de teoría de modelos. Equivalencia elemental de estructuras. Subestructuras elementales. Teorema de Lowenheim Skolem. Apectos de categoricidad. Ejemplos Tipos. Realización de tipos y omisión de tipos.Modelos saturados. Modelos atómicos. Modelos numerables de teorías completas. Teoría de Fräissé. Ultraproductos y ultrapotencias.

3. Teoría Axiomática de Conjuntos. Axiomas de Zermelo Fraenkel. Propiedades básicas de los conjuntos bien ordenados. Inducción transfinita y definiciones por recursión. Ordinales. Aritmética de ordinales. El axioma de elección y algunos enunciados equivalentes. Cardinales y una introducción a la aritmética de cardinales. Cofinalidad, cardinales regulares, cardinales inaccesibles. Conjuntos cerrados no acotados y conjuntos estacionarios.

Este curso tiene dos objetivos principales. Uno es introducir la técnica del forcing para producir pruebas de consistencia relativa con los axiomas de la teoría de conjuntos; en particular se demostrará que la Hipótesis del Continuo es independiente de ZFC. El otro objetivo es estudiar algunas aplicaciones de la teoría de conjuntos a otras ramas de la matemática, en especial la topología y el análisis.

El objetivo de este curso es servir de puente entre un curso básico de Topología General (e.g. MATE3420) y temas recientes de investigación en el área. Algunos de los temas que trataremos son: Representación de Tychonov y compactificación de Stone- Čech. Álgebras booleanas y ultrafiltros. Dualidad de Stone. El álgebra P(ω)/Fin y el espacio βω.  Álgebras libres y los espacios de Cantor 2^k. Invariantes cardinales: productos y subespacios.  Agregando estructura: Grupos, semigrupos y espacios diagonalizables.  Unicidad de grupos compactos cero-dimensionales. Todo grupo compacto es diádico. Dualidad de Pontryagin.

En la segunda parte del curso veremos algunos temas más avanzados, según el interés de los participantes. Estos podrían incluir: Metrizabilidad y espacios de Moore. Teorema de extensión de homotopías y espacios de Dowker.  Topología de “subespacios elementales". Teoría de L-espacios y S-espacios.

Iniciar el estudio de la Teoría de Modelos de la Lógica de Primer Orden. Completud, Compacidad, Teoremas de Lowenheim-Skolem. Teorías K.Categóricas, Teorías Completas, Teoría Decidibles e Indecidibles. Equivalencia y Sumersión Elemental. Caracterización de Teorías Universales, Universales-Existenciales. Modelos Existencialmente Cerrados, Teorías Modelo Completas, Eliminación de Cuantificadores. Isomorfismos Parciales, Teoremas de Feferman-Vaugth. Teoremas de Interpolación y Definibilidad. Automorfismos, Indiscernibles, Teorema de Ehrenfeucht-Mostowski. Modelos Genéricos de Fraissé. Algebras Booleanas, Filtros, Ultrafiltros. Ultraproductos, Saturación de Ultraproductos. Tipos de Elementos, Realización y Omisión de Tipos, Saturación, Homogeneidad, Universalidad. Modelos Atómicos y Primos, Teorías Omega-Categóricas. Espacios de Tipos, Estabilidad, TeoríasOmega Estables. Después de esto el instructor podrá profundizar más en temas como las siguientes. Leyes 0-1 en Modelos Finitos. Espectro de Modelos Finitos. Relaciones con Complejidad. Teorema de Keisler-Shelah, Caracterización de Clases Elementales. Teorema de Categoricidad de Morely. Teorema de Baldwin-Lachlan.

El curso teoría de representaciones de grupos  finitos está dirigido principalmente a estudiantes de matemáticas y física con conocimientos básicos de teoría de grupos y álgebra lineal. La idea es dar una introducción a varios temas de álgebra y teoría de representaciones que se pueden desarrollar de manera elemental y aparecen en muchas áreas de las matemáticas y de la física.

i.) Representaciones: Definiciones. Ejemplos básicos. Subrepresentaciones. Representaciones irreducibles.  Productos tensoriales de dos representaciones. Cuadrado simétrico y alternante. ii.) Teoría de caracteres: El carácter de una representación.  El lema de Schur. Relaciones de ortogonalidad entre caracteres. Descomposición de la representación regular. Número de representaciones irreducibles.  Descomposición canónica de una representación. Descomposición explícita de una representación. iii.) Subgrupos, productos y representaciones inducidas: Subgrupos abelianos.  Producto de dos grupos. Representaciones inducidas. iv.) Ejemplos y generalizaciones: Grupos cíclicos. Grupos diedrales. Grupos simétricos y alternantes. Representaciones de grupos compactos. v.) El álgebra de grupo: Representaciones y módulos Descomposición de C[G].  El centro de C[G].  Propiedades de integralidad de los caracteres.

El objetivo de la clase es exponer las propiedades aritméticas básicas de la curvas elípticas.  La geometría diofantina trata del estudio de las soluciones en los enteros o en los racionales de ecuaciones algebraicas. Las ecuaciones lineales no poseen mayor  dificultad ; las cuadráticas, de mayor interés, fueron estudiadas ampliamente a principios del siglo XX.  El siguiente caso más simple, es el estudio de las cúbicas en dos variables : las curvas elípticas. Son tan complejas que hoy en día sigue siendo un tema de investigación muy dinámico.

 

En la primera parte del curso, definiremos la curvas elípticas y las estudiaremos sobre

un campo de base cualquiera. Se explicará, entre otras cosas, la operación que hace de sus puntos un grupo abeliano.  Luego podremos abarcar temas más avanzados, según el tiempo y el interés de los estudiantes: sobre campos finitos, demostrando el teorema de Hasse-Weil; sobre el campo de los complejos, demostrando el teorema de uniformización; sobre campos de números, demostrando el teorema de Mordell-Weil.

Este curso está dirigido a estudiantes de matemáticas y estudiantes de otras ciencias que quieran usar la teoría de grupos en su carrera. Profundizaremos y extenderemos las ideas y construcciones que aparecen en el curso Álgebra Abstracta I para estudiar grupos de permutaciones y sus aplicaciones en la combinatoria y en la teoría de representaciones. Construcciones y estructura del grupo de permutaciones S_n y sus subgrupos, órbitas y estabilizadores, transitividad y k-transitividad, productos semidirectos y productos de corona, grupos primitivos y imprimitivos, permutaciones de conjuntos infinitos, y representaciones y caracteres de S_n.

1. Análisis Real
Espacios métricos, completitud, completacion de un espacio métrico, compacidad, conexidad.

2. Introducción al Análisis Funcional
Introducción a la medida de Lebesgue, Teorema de la convergencia Monotona,Teorema de la Convergencia Dominada, Lema de Fatou; Espacios Lp. Espacios Ck [a; b], Teorema de Arzela-Ascoli, Teorema de Stone-Weierstrass.

3. Análisis Complejo
Funciones holomorfas, Ecuaciones de Cauchy-Riemann, Teorema de Cauchy y Analiticidad, Calculo de Residuos, Teorema Fundamental del Álgebra.

El curso da una introducción a la teoría de la medida de Lebesgue y sus aplicaciones al análisis funcional y a la probabilidad.
INTEGRACIÓN ABSTRACTA: El concepto de medibilidad. Propiedades elementales de las medidas. Integración de funciones positivas. Integración de funciones complejas. Conjuntos de medida cero. MEDIDAS DE BOREL POSITIVAS: El Teorema de Representación de Riesz . Regularidad de las medidas de Borel. La medida de Lebesgue. Propiedades de continuidad de las funciones medibles. MEDIDAS COMPLEJAS: Variación total. Continuidad absoluta. El teorema de Radon–Nikodym. INTEGRACIÓN SOBRE ESPACIOS PRODUCTO: Medibilidad de productos cartesianos. El teorema de Fubini. Completación de medidas producto. Convoluciones. Funciones de distribución. DIFERENCIACIÓN: Derivada de medidas. El Teorema Fundamental del Cálculo. Transformaciones diferenciables. ESPACIOS LP: Funciones convexas y desigualdades. Espacios Lp. Aproximación por funciones continuas.

El curso tiene como propósito la presentación teórica de las ecuaciones básicas da la Física Matemática tales como las ecuaciones de Laplace y Poisson, las ecuaciones de transmisión de calor y de onda, los sistemas de ecuaciones en derivadas parciales de tipo Navier-Stokes y similares. Una de las características del curso es la deducción detallada de todos los resultados con demostraciones. El curso tiene un énfasis teórico y es orientado principalmente a los estudiantes de las carreras Matemática y Física, aunque también puede ser útil para los estudiantes de Ingeniería que están interesados en una avanzada base teórica.

Espacios de Banach: Definiciones y ejemplos. Subespacios, transformaciones lineales, espacios cocientes. Dualidad: el teorema de Hahn-Banach. Teoremas de Banach-Steinhaus, de la Aplicación Abierta y del Gráfico Cerrado. Aplicaciones: Operadores adjuntos. Espacios de Hilbert: Definiciones y ejemplos, ortogonalidad. Operadores continuos: convergencia de operadores. Operadores hermitianos, normales y unitarios. Proyecciones ortogonales. Operadores compactos: Introducción a la teoría espectral.

La geometría Riemanniana ha sido una de las áreas más importantes de las matematicas desde su inicio, en el siglo XIX, y sus aplicaciones en física teórica (en relatividad general, en particular) revolucionaron nuestra concepción del mundo. El curso que se presenta a continuación tiene como objetivo introducir las ideas fundamentales y las herramientas básicas de la geometría Riemanniana, presentando al mismo tiempo los resultados más importantes en el área y algunas de sus aplicaciones (clásicas y recientes) en el estudio de la topología de variedades diferenciales.

Introducir los conceptos básicos de la topología algebraica, así como las herramientas algebraicas clásicas usadas en el cálculo de invariantes topológicos de espacios simpliciales. Contenido: Homotopía, complejos celulares. Grupo Fundamental: Teorema de Van Kampen, espacios recubridores. Homología: celular, simplicial, invarianza homotópica, sucesión de Mayer-Vietoris, axiomas, ejemplos. Cohomología: simplicia, celular, toerema de coeficientes universales, cohomologia de Cech, cohomologia de De Rham, triangulaciones, producto copa, dualidad de Poincaré.

Profundizar en las aplicaciones de las Teorías de Homología, Cohomología y Clases Características. Evidenciar la relación de estas teorías con la Geometría. Teoría de Transversalidad en Superficies Compactas. Topología de Variedades de Baja Dimensión. Clases Características de Chern y de Pontrjagyn. Breve introducción a la Geometría Compleja y Compleja Generalizada. Obstrucciones para la Existencia de Estructuras Complejas Generalizadas.

El curso tiene como objetivo estudiar la teoría de formas diferenciales sobre variedades, así como la geometría asociada a diferentes  tipos de estructuras (definidas por tensores de diferentes tipos) sobre ellas y sus aplicaciones en topología. En la primera parte se estudiará la teoría general de variedades, campos vectoriales y el teorema de Frobenius; la teoría de formas diferenciales, cohomología de De Rham y los teoremas de Stokes y De Rham, así como los fundamentos de la teoría de grupos y álgebras de  Lie. En la segunda parte, se estudiará la interacción entre análisis y topología ilustrada por la teoría de Hodge para  variedades Riemannianas y, finalmente, la definición de curvatura y la construcción de clases características según el teorema de Chern- Weil.

El inmenso potencial de aplicación del área de Reconocimiento de Patrones en medicina, en verificación de firmas, huellas dactilares, en identificación de señales eléctricas, etc., por un lado, y los grandes avances realizados recientemente tanto en la práctica como en la teoría probabilística de los procedimientos del área, tales como máquinas de soporte vectorial, árboles de clasificación, clasificadores de vecinos más cercanos, clasificadores basados en estimación de densidades por núcleos, además del desarrollo reciente de la Teoría de Aprendizaje Estadístico y el impacto que esta teoría ha tenido sobre la práctica de Reconocimiento de Patrones, motivan la inclusión de esta asignatura entre las electivas del área de Estadística del Pregrado y la  Maestría en Matemáticas de Uniandes.
Introducción. El error de Bayes. Importancia de las covariables en el problema de Reconocimiento de Patrones. Clasificador de Bayes. Funciones Discriminantes. El discriminador lineal de Fisher. Propiedades paramétricas y no-paramétricas y limitaciones. Estimación de densidades por núcleos (kernels). Elección del ancho de ventana para ancho de ventana fijo. Selección del ancho de ventana mediante distancias a vecinos cercanos. Uso de la estimación de densidades en el problema de Reconocimiento de Patrones. El clasificador de k vecinos más cercanos. Consistencia y criterios de implementación. El Perceptrón. Criterios de ajuste. Convergencia. Máquinas de soporte vectorial. Propiedades de los núcleos utilizados en estos clasificadores. Cotas teóricas de error. Algoritmos de estimación. Identificación de conglomerados. Métodos divisivos y aglomerativos (dendogramas). Ventajas y desventajas. Criterios para elegir el número correcto de conglomerados.
Clasificadores tipo árbol (CART) y su poda.

Introducir al estudiante al movimiento Browniano y algunas de sus propiedades. Presentarle la teoría básica de integración estocástica con respecto al movimiento Browniano y su relación con las ecuaciones diferenciales estocásticas de difusión. Darle la posibilidad al estudiante de aplicar estos conceptos en el contexto de las aplicaciones en finanzas.

El propósito de este curso es estudiar dos aspectos importantes de la optimización convexa:

1. Métodos numéricos (demostrar que el problema de aproximar la solución a un problema de optimización convexa con precisión muy alta es de complejidad POLINOMIAL) y discutir algunas implementaciones eficientes.

2. El rol de la optimización convexa en la aproximación de problemas combinatorios (el algoritmo de Goemans-Williamson y las jerarquías de aproximación de Lasserre y Parrilo para problemas de momentos).

Se discutirán además muchas aplicaciones de la optimización convexa que resultan de estos dos aspectos.

El curso tiene dos objetivos principales: Por una parte familiarizar al estudiante con las ideas  básicas de la geometría convexa y las clases principales de conjuntos convexos importantes en optimización: politopos, conos cuadráticos y espectrahedros. Por otra parte el curso quiere enseñar al estudiante a modelar y resolver problemas concretos de optimización   (principalmente provenientes de finanzas, estadística, ingeniería y matemáticas puras) mediante el uso de computadores (específicamente, aprenderán a usar el lenguaje AMPL que permite resolver problemas a gran escala en la nube).

El objetivo es poner al estudiante en contacto con una gama amplia de temas matemáticos avanzados y enseñarle a sintetizar y exponer oralmente dichos temas con claridad y precisión.

El objetivo es poner al estudiante en contacto con una gama amplia de temas matemáticos avanzados y enseñarle a sintetizar y exponer oralmente dichos temas con claridad y precisión. En éste seminario el estudiante decidirá el tema en el área en que piensa desarrollar su trabajo de grado y preparará con el profesor que posiblemente será su director de trabajo de grado una exposición sobre el tema escogido.

Su objetivo es introducir plenamente al estudiante en la actividad investigativa, por medio del estudio directo de la literatura matemática especializada y capacitarlo, no solo para la solución de problemas, sino para su adecuada formulación. El estudiante debe presentar el proyecto de tesis al Comité de Postgrado e Investigaciones del Departamento antes de la última semana de retiros del semestre, se espera que el estudiante avance en su investigación en el periodo posterior.

El estudiante deberá elaborar un trabajo de investigación en alguna de las áreas matemáticas que el Programa de Magíster ofrece. Éste debe demostrar que el autor ha realizado un trabajo de asimilación y sistematización, o una exploración cuidadosa en la frontera de un tema concreto, evidenciando cierto grado de creatividad y una gran familiaridad con la información reciente sobre el tema. El Trabajo de Grado debe estar redactado en castellano o inglés y poseer la organización formal propia de un trabajo científico.

Este curso lo deben inscribir los estudiantes de posgrado que planean recibir su grado el semestre siguiente.

Materia que inscriben los estudiantes de posgrado cuando hacen intercambios académicos con Universidades de otros países.

El objetivo es poner al estudiante en contacto con una gama amplia de temas matemáticos avanzados y enseñarle a sintetizar y exponer oralmente dichos temas con claridad y precisión.

El objetivo es poner al estudiante en contacto con una gama amplia de temas matemáticos avanzados y enseñarle a sintetizar y exponer oralmente dichos temas con claridad y precisión.

En éste seminario el estudiante decidirá el tema en el área en que piensa desarrollar su trabajo de grado y preparará con el profesor que posiblemente será su director de trabajo de grado una exposición sobre el tema escogido.

En este curso los estudiantes presentan al comité de posgrados un plan de trabajo en un tema avanzado de investigación, avalado por su director o tutor. Deben realizar un informe de sus actividades durante el semestre, basados en una propuesta del área en la cual planean preparar su proyecto de tesis de doctorado.

La evaluación de la asignatura Proyecto de Tesis 2 dependerá de la evaluación de la Sustentación del Proyecto de Tesis.

El estudiante deberá presentar el Proyecto de Tesis, avalado por su Director (y su Codirector, en caso de tenerlo) ante el Comité de Postgrado e Investigaciones del Departamento.Para su evaluación, el Comité designa a un experto en el tema, distintos al Director y al Codirector, el cual deberá tener experiencia en la dirección de tesis de doctorado. El evaluador deberá emitir un concepto sobre el proyecto, juzgando si es una investigación apropiada para tesis doctoral, viable y original.

El estudiante deberá presentar dos Exámenes de Conocimiento: Examen de Conocimiento 1 y Examen de Conocimiento 2, en áreas diferentes. El estudiante podrá presentar estos exámenes escogiendo entre las áreas de investigación que soporta el programa de doctorado.

El estudiante deberá presentar dos Exámenes de Conocimiento: Examen de Conocimiento 1 y Examen de Conocimiento 2, en áreas diferentes. El estudiante podrá presentar estos exámenes escogiendo entre las áreas de investigación que soporta el programa de doctorado.

El estudiante deberá sustentar el Proyecto de Tesis presentado en el curso MATE6904 Proyecto de Tesis 2, Para su evaluación, el Comité designa a un experto en el tema, distintos al Director y al Codirector, el cual deberá tener experiencia en la dirección de tesis de doctorado. El evaluador deberá emitir un concepto sobre el proyecto, juzgando si es una investigación apropiada para tesis doctoral, viable y original.
Este curso lo deben inscribir aquellos estudiantes que estén cursando MATE6904 Proyecto de Tesis 2

El estudiante deberá realizar una pasantía por un tiempo no menor de un semestre académico –no necesariamente consecutivos – en una universidad o en un centro de investigación, de reconocido prestigio, en el exterior. Para la aprobación de la Pasantía, el Comité de Postgrado e Investigaciones verificará que en la institución donde el estudiante realizará su pasantía se encuentra un experto en el área en la cual el estudiante realiza o realizará su Tesis, dispuesto a asesorarlo.
En este período el estudiante debe trabajar en su tesis doctoral bajo la supervisión de su Director y/o Codirector de Tesis.

Al final del semestre el estudiante deberá presentar un escrito sobre el desarrollo de su investigación a su Director de Tesis.

Al final del semestre el estudiante deberá presentar un escrito sobre el desarrollo de su investigación a su Director de Tesis.

Al final del semestre el estudiante deberá presentar un escrito sobre el desarrollo de su investigación a su Director de Tesis.

Al final del semestre el estudiante deberá presentar un escrito sobre el desarrollo de su investigación a su Director de Tesis.

Al final del semestre el estudiante deberá presentar un escrito sobre el desarrollo de su investigación a su Director de Tesis.

La tesis de doctorado debe basarse en un Proyecto de Tesis aprobado y sus resultados deben llevar a un trabajo de investigación que constituya un aporte original a la matemática. Además debe tener méritos para generar publicaciones en revistas especializadas de reconocido valor científico internacional. El documento debe redactarse en castellano o en inglés, y debe poseer la organización formal propia de un trabajo científico. La evaluación de la asignatura Tesis dependerá de la evaluación de la Sustentación de la Tesis.

La tesis de doctorado debe basarse en un Proyecto de Tesis aprobado y sus resultados deben llevar a un trabajo de investigación que constituya un aporte original a la matemática. Además debe tener méritos para generar publicaciones en revistas especializadas de reconocido valor científico internacional.
La integración mínima del Jurado de Tesis deberá cumplir lo establecido por el Reglamento General de Estudiantes de Doctorado, y cumplir además que al menos dos (2) de los jurados deben ser externos a la Universidad de los Andes. Todos los jurados deben tener doctorado, o en caso de ser internos tener el aval del Consejo Académico para dirigir tesis. La sustentación de la tesis de doctorado se realizará ante el jurado, y ellos se encargarán de evaluarla con nota de “Aprobado” o “Reprobado”-
Este curso lo deben inscribir conjuntamente con MATE6989 Tesis

Materia que inscriben los estudiantes de posgrado cuando hacen intercambios académicos con Universidades de otros países.