MATE 3129 Topología Dócil y Estructuras O-Minimales
Una estructura o-minimal es un conjunto linealmente ordenado dotado con estructura adicional (por ejemplo, de un anillo o campo, o con aún más operaciones) tal que todos sus subconjuntos definibles son uniones finitas de puntos y intervalos. Aquí “definible” quiere decir en el lenguaje de la lógica del primer orden, que tiene símbolos para la igualdad, las operaciones booleanas, y cuantificadores (“para todo” y “existe algún”). Resulta que el campo de los números reales es o-mimal, y que sigue siéndolo aún si agregamos algunas operaciones tales como la exponenciación. En cierto sentido, la estudia de estructuras o-minimales es una generalización de la geometría sobre los reales.
Las “variedades” o subconjuntos definibles de R^n en una estructura o-minimal (R, <, …) poseen una bonita teoría de dimensión y son dóciles en un sentido topológico. Por ejemplo, se puede descomponerlos en un número finito de células (gráficas y regiones entre gráficas de funciones continuas) y tienen triangulaciones. Durante las últimas décadas el concepto de o-minimalidad ha tenido aplicaciones fascinantes a la geometría algebraica, como la demostración de Jonathan Pila de la conjetura de André-Oort para productos de curvas modulares.
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