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Asistencia y participación activa en un seminario regular del Departamento.

Se trata de estudiar, un tema en el área de interés del estudiante. Las sesiones serán coordinadas por el profesor y el estudiante participa activamente en éste.

Este curso es una continuación natural del curso Álgebra Abstracta en el que se cubrió una

introducción a la teoría de grupos. Es fundamental que el estudiante se sienta cómodo con los

conceptos vistos en Álgebra Abstracta para poder sacar el mayor provecho al curso.

El curso consta fundamentalmente de cuatro partes: una primera parte que estudia anillos, una

segunda parte que estudia módulos, una tercera que cubre extensiones de cuerpos y una última

que explica la resolubilidad de las ecuaciones polinomiales en una variable.

Este será un curso introductorio estándar en teoría algebraica de números. La idea es estudiar las propiedades aritméticas del anillo de enteros de un cuerpo de números—este anillo juega el papel de los enteros, como sub-anillo de los racionales, dentro del campo de números. Ejemplos específicos de lo que estudiaremos son los ideales primos de estos anillos, sus grupos de unidades, sus propiedades de ramificación y sus funciones zeta.

Algebra conmutativa es el estudio de anillos conmutativos. Las fuentes históricas de este tema son la teoría de números y la geometría algebraica. Uno puede decir que algebra conmutativa es para geometría algebraica lo que cálculo es para geometría diferencial. También algebra conmutativa es un tema muy interesante en su propio derecho y es fundamental en otras áreas de algebra (¡el centro de cualquier anillo es conmutativo!). El curso es una introducción a los conceptos básicos de algebra conmutativa

Comenzaremos con el estudio de politopos convexos y sus propiedades, junto con muchos ejemplos. Luego veremos grupos de reflexiones, en donde se introducirán ejemplos en geometrías no euclidianas, y diversos grupos de simetrías y teselaciones. Terminaremos hablando de superficies discretas, mencionando versiones discretas de temas de geometría diferencial, como curvaturas y superficies minimales.

Es un curso sobre los determinantes y como se les entiende esquemáticamente en el contexto de fenómenos planar y non-crossing. También vamos introducir y estudiar los clúster álgebras - un concepto que se desarrolló, en parte, para ayudar a analizar las identidades algebraicas y unas fórmulas para las expansiones determinantales (y expansiones de los objetos que se comportan como los determinantes).

La lógica se puede definir como el análisis de los métodos y formas de razonamiento. La lógica matemática analiza el razonamiento matemático y se centra en la noción de demostración y en la noción de verdad. En este curso estudiaremos los conceptos básicos de la lógica matemática con la intención de presentar los resultados más importantes concernientes a esos conceptos básicos. Para cumplir estos objetivos se debe definir un lenguaje formal en el que se expresen enunciados a los que se asigna significado al interpretar los elementos del lenguaje formal. Una vez hecho esto analizaremos el concepto de demostración, el concepto de verdad y la relación que hay entre estos conceptos.

En éste curso pretendemos presentar una introducción a los temas más importantes de la Lógica Matemática como son: el teorema de completitud para la lógica de primer orden y el teorema de incompletitud de Gödel de la aritmética formal. El segundo tema que abordaremos será la teoría axiomática de conjuntos de Zermelo – Frenkel con el axioma de escogencia, ordinales, cardinales y aritmética cardinal. Finalmente haremos una introducción a la teoría de modelos.

En este curso opcional de pregrado en matemáticas el estudiante obtendrá los fundamentos de la teoría de lógicas modales proposicionales desde la perspectiva de la semántica relacional (modelos de Kripke). Estos fundamentos incluyen técnicas básicas de demostración, teoremas de correspondencia, resultados de decidibilidad y ejemplos de aplicaciones a otras disciplinas. Si el tiempo y los intereses de los estudiantes lo permiten, el curso incluye también una introducción a la lógica proposicional intuicionista, que si bien no es una lógica modal, es cercana a éstas en varios aspectos. La inclusión de este tema permite que el estudiante se familiarice con la noción y uso del álgebra de Lindenbaum asociada a un lenguaje lógico.

• INTRODUCCIÓN Y DESCRIPCIÓN GENERAL DEL CURSO: La teoría de la recursión (o teoría de la computabilidad) se ocupa del estudio y clasificación de las funciones entre conjuntos de números naturales en términos de su computabilidad (por un algoritmo). En este curso estudiaremos los aspectos básicos de esta teoría.

• OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA Dar respuesta a las preguntas fundamentales de la teoría de la recursión: ¿Qué significa que una función en los números naturales sea computable? y ¿Cómo podemos clasificar jerárquicamente las funciones en los números naturales según su grado de no-computabilidad?

Una estructura o-minimal es un conjunto linealmente ordenado dotado con estructura adicional (por ejemplo, de un anillo o campo, o con aún más operaciones) tal que todos sus subconjuntos definibles son uniones finitas de puntos y intervalos. Aquí “definible” quiere decir en el lenguaje de la lógica del primer orden, que tiene símbolos para la igualdad, las operaciones booleanas, y cuantificadores (“para todo” y “existe algún”). Resulta que el campo de los números reales es o-mimal, y que sigue siéndolo aún si agregamos algunas operaciones tales como la exponenciación. En cierto sentido, la estudia de estructuras o-minimales es una generalización de la geometría sobre los reales.

Las “variedades” o subconjuntos definibles de R^n en una estructura o-minimal (R, <, …) poseen una bonita teoría de dimensión y son dóciles en un sentido topológico. Por ejemplo, se puede descomponerlos en un número finito de células (gráficas y regiones entre gráficas de funciones continuas) y tienen triangulaciones. Durante las últimas décadas el concepto de o-minimalidad ha tenido aplicaciones fascinantes a la geometría algebraica, como la demostración de Jonathan Pila de la conjetura de André-Oort para productos de curvas modulares.

Este curso es una introducción a la teoría axiomática de conjuntos. La teoría se desarrolla a partir de los axiomas de Zermelo-Fraenkel. Para inscribir el curso se debe haber aprobado el curso de análisis 1 y haber desarrollado un grado avanzado de madurez matemática

Esta clase está dividida en dos partes:
1. Ordinales y cardinales: En ésta parte vamos a cubrir nociones básicas de la teoría de conjuntos como ordinales, cardinales, aritmética de ordinales y de cardinales y la topología del orden en los ordinales. En particular vamos a estudiar conjuntos de ordinales cerrados y no acotados (clubs). y el axioma de elección.
2. Teoría descriptiva de conjuntos: La segunda parte de la clase se va a concentrar en teoría descriptiva de conjuntos. Los temas incluyen conjuntos de Borel, espacios polacos, teorema de categoría de Baire, grupos polacos, acciones de grupos polacos, relaciones de equivalencia de Borel.

Este curso tiene dos objetivos principales. Uno es introducir la técnica del forcing para producir pruebas de consistencia relativa con los axiomas de la teoría de conjuntos; en particular se demostrará que la Hipótesis del Continuo es independiente de ZFC. El otro objetivo es estudiar algunas aplicaciones de la teoría de conjuntos a otras ramas de la matemática, en especial la topología y el análisis.

This is a first course in Information Theory. This course builds on material developed in a basic probability course, but the most impor-
tant requirement is mathematical maturity. The course has two explicit goals, namely to answer the following two (related) questions:
1. How efficiently can data be compressed?
2. How efficiently can data be transmitted in the presence of noise?
At the end of the course, students will have the mathematical tools to answer the above questions, as well as have a general understanding of the mathematics underpinning modern communications systems. More specifically, the main ideas we hope to cover during the course are entropy and mutual information of random variables, data compression, coding theory, and channel capacity.

Este es un curso de matemáticas donde se trata de modelos probabilísticos de riesgo en el área de seguros.
Se espera que los estudiantes asistan a las clases y trabajen en los talleres.

Objetivos de la asignatura y competencias a desarrollar son:

• exponer temas de probabilidad, procesos estochasticos y estadistica pertinentes para modelización de riesgos de aseguradoras
• fortalecer la capacidad de calculo teórico y practico adquirido en cursos de calculo integral y probabilidad

MATE-3135 is an upper-level undergraduate elective, MATE-4135 is a graduate elective mathematics course, meeting twice a week for two hours each time. The course language is English.

This class is an introductory class to the theory of large deviations. In a first part motivate the edifice of large deviations theory mainly in finite spaces in several examples, where it turns out to extremely useful. Applications are finite type convergence, Markov chains with finite states, etc. In a second part we shall study general Large deviations principle, and their applications to dynamical systems perturbed by Brownian motion, known as Freidlin-Wentzell theory, the asymptotic first exit time and locus. The class will be taught in English.

Este curso se concentra en el estudio sistemático de los posibles modelos (interpretaciones) que puede poseer una teoría formal de primer orden, los teoremas generales que gobiernan la estructura de dichos modelos, y su aplicación al estudio de diversas teorías matemáticas

La teoría de representaciones es una manera general de entender y manipular las simetrías de un objeto. Más precisamente es el estudio de las maneras en las que un grupo puede actuar sobre un espacio vectorial. Es una rama central de las matemáticas puras y aplicadas.

Si usted cree en la existencia de un cierto tipo de objeto en la teoría de grafos o la ombinatoria pero no puede construirlo, ¿que haría? Erdos y Renyi introdujeron el siguiente método poderoso: demostrar que bajo una buena selección de los parámetros, un objeto aleatorio tiene las propiedades deseadas con probabilidad mayor que cero. Veremos una variedad de aplicaciones de este método y desarrollaremos las requisitas herramientas probabílísticas durante el curso.

La teoría de modelos es una rama de la lógica matemática que tiene muchas aplicaciones al álgebra.

En este curso estudiaremos algunas de estas aplicaciones, principalmente en los cuerpos finitos y pseudofinitos. Nos enfocaremos en las principales propiedades modelo teóricas de estos cuerpos y analizaremos la relación que hay entre estas y ciertas características algebraicas.

This course provides an introduction to the basic concepts and some important applications of tropical geometry. The mains goals of this course are as follows:

• Understand the basic concepts of tropical geometry, tropical varieties, stable intersections, and matroidal fans.
• Understand the basic proof techniques in polyhedral geometry and acquire sufficient technical background to perform simple arguments independently.
• Learn about some important applications of tropical geometry. Understand the basic ideas and techniques behind these applications without knowing all the details.
• Learn about some recent research directions in tropical geometry. Build up an intuition for the general ideas, in conjunction with the ability to work out or research details if necessary.
• Work in groups on small research projects related to tropical geometry.

This course provides an introduction to the basic concepts and some important applications of tropical geometry. The mains goals of this course are as follows:

• Understand the basic concepts of tropical geometry, tropical varieties, stable intersections, and matroidal fans.
• Understand the basic proof techniques in polyhedral geometry and acquire sufficient technical background to perform simple arguments independently.
• Learn about some important applications of tropical geometry. Understand the basic ideas and techniques behind these applications without knowing all the details.
• Learn about some recent research directions in tropical geometry. Build up an intuition for the general ideas, in conjunction with the ability to work out or research details if necessary.
• Work in groups on small research projects related to tropical geometry.

La teoría de representaciones de las álgebras de Lie, es un tema central en matemáticas, que tiene numerosas aplicaciones a otras ramas de las matemáticas (geometría, teoría de números, combinatoria, topología... ) así como en la física teórica (sistemas cuánticos integrables, teoría cuántica de campos, reglas de fusión,...)
El objetivo del curso es: primero dar una introducción a las nociones y útiles en la teoría clásica de álgebras de Lie semisimples y segundo estudiar algunas generalizaciones (álgebras de Kac-Moody, álgebra de Virasoro) y algunas aplicaciones.

Representation theory of Lie algebras is a central subject in mathematics, which has several applications to other branches of mathematics (geometry, number theory, combinatorics, topology,...) as well as in theoretical physics (quantum integrable systems, QFT, fusion rules,…)
The aim of the course is: firstly to give an introduction to the notions and tools in the classical theory of semisimple Lie algebras and secondly to study some generalizations (Kac-Moody algebras, Virasoro algebra) and some applications.

Usualmente vemos un grupo como una estructura algebraica puramente abstracta. Sin embargo, en la práctica un grupo “nace" por medio de sus acciones sobre un conjunto, una variedad, una molécula, etc. En general, estas acciones de grupo dan lugar a espacios vectoriales y, por tanto, caemos en los cimientos del álgebra lineal. Burdamente hablando, la teoría de representaciones nos ayuda a entender grupos usando álgebra lineal. En este curso aprenderemos herramientas

básicas de las representaciones de grupos, en particular, del grupo simétrico. Veremos una de las tantas formas en que el álgebra, la combinatoria y la geometría crean puentes entre sí

Este curso es una introducción a los aspectos computacionales y aplicados de la geometría algebraica. Estudiaremos la teoría de variedades afines y proyectivas y además la teoría de bases de Groebner. Obtendremos una idea de cómo funcionan los sistemas de álgebra computacional para procesar los cálculos del álgebra de polinomios.

El propósito del curso es hacer una introducción a los métodos algorítmicos en geometría algebraica (bases de Grobner, series de Hilbert, etc.) en el contexto de anillos con acciones de grupos finitos o más generalmente reductivos (polinomios simétricos). Nos enfocaremos en el cálculo algorítmico de anillos de invariantes. Estas técnicas son de interés tanto en matemáticas puras como aplicadas.

El curso presenta, con una aproximación matemática, los avances recientes más importantes en criptografía, necesarios para resolver problemas en aplicaciones avanzadas. Cubre los prerrequisitos básicos de álgebra (por ejemplo: campos de Galois y curvas elípticas), presenta las definiciones modernas de seguridad y el objetivo principal es presentar protocolos avanzados para cumplir requisitos de privacidad o de trust particulares. El curso no presenta en detalle algunos temas "viejos" de criptografía, como DES, block ciphers, modos de operación; funciones de hash, MACs, funciones de derivación, ni tampoco miramos la programación misma de algoritmos. 

El curso es una introducción a la teoría de los cardinales grandes. Incluirá las definiciones y propiedades principales de varios conceptos de gran cardinalidad originados por ideas muy diversas pero que calzan muy bien en una jerarquía que los hace comparables. Presentaremos cardinales grandes definidos mediante nociones de aritmética de cardinales, mediante propiedades combinatorias, mediante nociones de medida, nociones de compacidad de lenguajes y mediante inmersiones elementales.

El curso se divide en tres partes:
1) Principios del conteo;
2) Teor´ıa de grafos;
3) Combinatoria y acciones de grupo.

This course will be an introduction to Algebraic Coding Theory. Coding is an algebraic approach to adding redundancy to data, which allows us to correct for errors and erasures due to noisy environments. While originally motivated by the need for efficient data transmission, Coding Theory has also found applications more recently in
data storage, information retrieval, and cryptography, which we will cover towards the end of the course.

We will use a number of algebraic tools, and students are expected to have an excellent command of linear algebra. We will use some basics about finite fields as well, and later in the course even some tools from Algebraic Geometry and possibly Algebraic Number Theory. The background from these latter more advanced subjects will be provided as is needed, and no familiarity with them will be assumed. Overall, motivated students who have taken Abstract
Algebra I should have a good enough background to do well in the course.

Este curso está dirigido a estudiantes de matemáticas y estudiantes de otras ciencias que quieran usar la teoría de grupos en su carrera. Profundizaremos y extenderemos las ideas y construcciones que aparecen en el curso Álgebra Abstracta I para estudiar grupos de permutaciones y sus aplicaciones en la combinatoria y en la teoría de representaciones.

Contenido del curso:
Construcciones y estructura del grupo de permutaciones S_n y sus subgrupos, órbitas y estabilizadores, transitividad y k-transitividad, productos semidirectos y productos de corona, grupos primitivos y imprimitivos, permutaciones de conjuntos infinitos, y representaciones y caracteres de S_n.

Este será un curso introductorio en geometría algebraica. En este curso estudiaremos variedades algebraicas, variedades proyectivas, y funciones entre ellas. Se establecerá un diccionario entre la geometría y el álgebra. Aprenderemos toda el álgebra conmutativa necesaria para poder desarrollar la geometría.

El quinto problema de Hilbert afirma que todo grupo topológico localmente euclideano es un grupo de Lie.

Este problema fue solucionado cuando Montgomery y Zippin y Gleason, y la demostración incluye entender de manera profunda la estructura de los grupos topológicos localmente compactos y en particular su relación con grupos de Lie.

La demostración de este teorema requiere desarrollar propiedades algebraicas y geométricas de los grupos de Lie y sus álgebras (fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff, entender teoremas de representación de grupos de Lie compactos (Peter-Weyl) y combinarlo con teoremas topológicos de metrización y compacidad. Es una relación fascinante entre diversas áreas de matemáticas con aplicaciones sorprendentes como el Teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinomial.

El objetivo de la teoría de la complejidad computacional es clasificar problemas computacionales por la cantidad de recursos necesaria para resolverlos. La teoría tiene conexiones con varias áreas de matemáticas como la teoría de grafos, probabilidad, y álgebra abstracta.

La “Paradoja de Banach-Tarski” dice que uno puede partir la esfera unitaria en R^3 en cuatro subconjuntos, que después de usar movimientos rígidos en el espacio euclídeo se reacomodan para formar dos esferas idénticas a la original. Este resultado es en sí mismo sorprendente, pero al resolver preguntas naturales como ¿Por qué no se puede hacer en el plano? y qué hay detrás de la paradoja, llevaron al descubrimiento y relación de conceptos importantes en teoría de grupos como “amenability”, propiedad T de Kazshdan, y aplicaciones muy interesantes de matemáticos como Gromov, Margullis y Tits. En este curso analizamos la “paradoja” y los elementos de su demostración, cómo nos conlleva a la noción de grupos “amenable”, la ausencia de la paradoja en dimensiones menores y consecuencias de “amenable” sobre condiciones de crecimiento y la propiedad T de Kazhdan.

Este curso se centra en el estudio de los automorfismos  del espacio de Lebesgue (el intervalo [0,1] con la sigma algebra de Lebesgue y la medida usual) que preservan la medida.

El análisis complejo es la teoría de funciones analíticas en el plano complejo. Es una teoría muy clásica que comenzó con los trabajos de Cauchy, Riemann y Weierstrass. Desde sus comienzos los resultados se usan cotidianamente en muchos áreas de matemáticas. En contraste a la materia “Variable compleja”, en este curso se tratan los temas básicas de la teoría del análisis complejo rigurosamente.

▪ INTRODUCCIÓN Y DESCRIPCIÓN GENERAL DEL CURSO: Este es un curso introductorio a la Teoría Analítica de Números. Esta es un área clásica de las matemáticas que inicia con el trabajo de Euler sobre la infinitud de los números primos, hecho conocido desde Euclides, y para el cual introduce la que sería conocida después como la función Zeta de Riemann. La propuesta principal de este curso es mostrar cómo se puede usar el análisis, el estudio de lo continuo por excelencia, para estudiar los Números Naturales, el universo discreto por excelencia. Se estudiarán teoremas clásicos de la Teoría de Números con énfasis en las herramientas analíticas usadas en las demostraciones.

. ● OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA Se espera que al finalizar el curso el estudiante tenga una idea precisa de cómo se aplican los métodos del Análisis y la Variable Compleja en el estudio de propiedades de subconjuntos de los Números Naturales. El estudiante debe quedar capacitado para emprender el estudio por cuenta propia de artículos de investigación en el área.

En la mayoría de los modelos matemáticos de diferentes fenómenos de la naturaleza y la sociedad surgen ecuaciones diferenciales en las cuales la función incógnita depende de varias variables. Naturalmente, estas ecuaciones comprenden ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, que tienen un gran espectro de aplicaciones. Al desarrollo de ellas han aportado todas las ramas de la matemática moderna tales como el cálculo, el álgebra, la geometría, el análisis funcional, la topología, la teoría de variable compleja y, esencialmente, la teoría de los espacios funcionales de dimensión infinita. Como casi todos los procesos físicos se describen por medio de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, tales ecuaciones se llaman frecuentemente ecuaciones de la Física Matemática. Observemos que las ecuaciones diferenciales parciales describen también fenómenos químicos, biológicos, económicos y otros.

In this course we will study a basic tool of analysis: the Fourier series. We will start with basic notions related to the Fourier series and their pointwise convergence as well as convergence in the norm. Then there are several possibilities how to proceed further. For example, we could continue with Hardy spaces and notions related to the theory of analytic functions in the unit disc; discuss lacunary series and their relations to Probability Theory; turn to the noncommutative case on the group SO(3), etc. For the most part we will follow the book by Katznelson and cover chapter I and II, and possibly III and V. For the part about the lacunary series we would use the book by Zygmund. Depending on the additional material we will cover, we might use some additional literature.

Análisis Asintótico desarrolla más adelante el método de series de potencias ya conocido, por ejemplo, de ecuaciones diferenciales. En el presente curso, el concepto de series asintóticas divergentes se introduce rigurosamente, y también se discute el origen principal de tales series – la integral de Laplace. Se estudiarán varias aplicaciones a los problemas de física matemática (funciones especiales, la teoría de funciones generalizadas).

La geometría Riemanniana ha sido una de las áreas más importantes de las matemáticas desde su inicio, en el siglo XIX, y sus aplicaciones en física teórica (en relatividad general, en particular) revolucionaron nuestra concepción del mundo. El curso que se presenta a continuación tiene como objetivo introducir las ideas fundamentales y las herramientas básicas de la geometría Riemanniana, presentando al mismo tiempo los resultados más importantes en el área y algunas de sus aplicaciones (clásicas y recientes) en el estudio de la topología de variedades diferenciales.

Introducir la geometría de variedades finito-dimensionales. Una variedad suave es un espacio que localmente es homeomorfo al espacio euclidiano Rn, es decir que en una vecindad de cada punto se puede definir un sistema de coordenadas de tal forma que las funciones que definen los cambios de coordenadas sean suaves. Hay muchos ejemplos de variedades, entre ellos están las curvas y superficies en el espacio euclidiano tridimensional, los espacios de configuración de sistemas físicos y, en general, cualquier sistema que pueda describirse en forma paramétrica con coordenadas diferenciables. Las aplicaciones de la teoría de variedades suaves van mucho más allá de las matemáticas puras y la física teórica, pues aparecen naturalmente en el modelamiento de problemas en múltiples ramas de la ingeniería y la economía. En matemáticas permiten modelar objetos que ilustran las relaciones profundas que existen entre áreas tan diversas como el análisis, la topología y el álgebra

Las variedades tóricas son objetos en la interseccion entre combinatoria, teoría de representaciones y geometría algebraica (formalmente se definen como “clausuras” del grupo algebraico (C^*)^n). Son además una manera muy concreta de aprender geometría algebraica y un área de investigación actual muy activa. El propósito de este curso es familiarizar al estudiante con las definiciones y propiedades principales de este tipo de variedades y desarrollar la capacidad de calcular en ejemplos concretos.

Se introducen la herramientas básicas para el estudio de la geometría de variedades con una métrica de Lorentz. Se estudiará además, con miras en sus aplicaciones a la física, la estructura causal en dicha geometría.

Este es un curso introductorio en Geometría Simpléctica. Uno de los rasgos más atractivos de este tópico es la interacción de conceptos provenientes de diversas áreas de la Matemática. De hecho, de manera muy natural, la Geometría Simpléctica combina, entre otros, ideas y procedimientos provenientes de Topología Algebraica, teoría de Grupos de Lie, teoría de Representaciones y, por supuesto, de la Geometría misma. 

La teoría de Hodge no abeliana es una amplia generalización de la teoría de formas armónicas en variedades complejas suaves y proyectivas. Se debe a Hitchin, Simpson, Donaldson y Corlette. El resultado fundamental de la teoría es la existencia de una correspondencia entre la “cohomología de Betti” y la “cohomología de Dolbeault” de la variedad.

El estudio de los espacios topológicos introducidos en la primera mitad del siglo XX constituye el fundamento teórico del análisis y la geometría modernos. Continúa el estudio de los espacios métricos que los estudiantes han visto en el curso de análisis real. La topología puede verse como análisis y geometría abstractos y su desarrollo está ligado al de la teoría de conjuntos; es de hecho la mejor introducción a su estudio. Desde la segunda mitad del siglo XX la topología juega un papel cada vez más importante en otras áreas de la matemática como el álgebra, la combinatoria y la lógica. En el curso se da una presentación básica a los conceptos de esta disciplina. Se busca la profundización, afianzamiento e integración de la experiencia matemática, en un contexto que enfatice la unidad e interconexión de los diversos temas y la deducción rigurosa.

En este curso, se usarán las formas diferenciales como una herramienta para el estudio de algunos aspectos centrales de la topología algebraica tales como teorías cohomológicas, dualidad de Poincaré, el isomorfismo de Thom, etc. Nos limitaremos a la categoría de las variedades diferenciables, principalmente. Las técnicas usadas son útiles para entender algunos de los aspectos más importantes de la topología algebraica, como sucesiones espectrales, clases características, geometría compleja, etc.

El análisis topológico de datos es una nueva herramienta para hacer análisis exploratorio de datos. Su propósito es extraer información basada en la estructura subyacente de los datos. Muchos de estos datos se representan como puntos en un espacio de alta dimensión, pero posiblemente están concentrados alrededor de estructuras geométricas de baja dimensión.
El objetivo del curso es familiarizar a los estudiantes con estos nuevos métodos.

Topological Data Analysis (TDA) is a new tool in exploratory data analysis and data mining. It aims to extract underlying structures of the data. Many such data come in the form of point clouds, living in high-dimensional spaces, but possibly concentrated around low-dimensional geometric structures.
The objective of this course is to familiarize the students with these new methods.

El objetivo de este curso es introducir la teoría básica de grupos de Lie, álgebras de Lie y los fundamentos de la teoría de representaciones asociada, con el objeto de estudiar la geometría de espacios homogéneos, i.e. espacios que son cocientes de grupos de Lie por subgrupos cerrados.

Los haces vectoriales y en forma más general los haces fibrados juegan un papel importante en las matemáticas y la física matemática. La noción de haz vectorial surge al estudiar las variedades diferenciables y alrededor de la mitad del siglo pasado se desarrolló la teoría de clases características para su estudio. El curso abordará las construcciones de haces fibrados, haces vectoriales, sus propiedades topológicas y aplicaciones.

El alumno será capaz de manejar los principales modelos de la teoría moderna de procesos estocásticos y sus aplicaciones. Cadenas de Markov: Definiciones y ejemplos. Construcción y propiedades.  Clasificación de estados y de cadenas. Cadenas de Markov contables.  Teoremas del Límite. Distribución estacionaria. Cadenas de Markov finitas. Procesos de Renovación:   Ecuación de Renovación. Leyes de números grandes. Edad y vida residual. Procesos puntuales: Generalizaciones de los procesos de Poisson. Proceso no homogéneo. Procesos Compuestos de Poisson. Movimiento Browniano: Preliminares. Características simples del movimiento browniano estándar. Variaciones en el movimiento browniano. Principio de reflexión. Puente Browniano.

Este curso es una introducción a las teorías de la dinámica estocástica, es decir las herramientas y resultados para entender el comportamiento de procesos estocásticos a lo largo del tiempo en diferentes contextos, como familias i.i.d. de variables aleatorias independientes, cadenas de Markov, sistemas dinámicos aleatórios, procesos estacionarios, y ecuaciones diferenciales estocásticas simples.

El curso pretende dar al estudiante la fundamentación teórica de los principales métodos paramétricos de la estadística clásica. También se busca que el estudiante maneje el análisis descriptivo de datos a través del uso del Lenguaje R y la evaluación de procedimientos estadísticos por simulación Monte Carlo. La Estadística se apoya en la Probabilidad, que es su lenguaje matemático. Los procedimientos estadísticos buscan, a partir de conjuntos de datos, entre otras cosas, las siguientes:

1. La estimación precisa de parámetros en modelos probabilísticos.

2. La toma de decisiones a partir de conjuntos de datos (medición de evidencia a favor de distintas hipótesis).

3. La estimación y validación de modelos que expliquen una variable en función de otras.

4. La selección de un modelo apropiado a un fenómeno entre varios modelos disponibles.

Introducir al estudiante a las principales ideas y técnicas de la Estadística No Paramétrica, de manera de que pueda manejar tanto los aspectos teóricos del tema como los aspectos computacionales y sea capaz de seleccionar procedimientos no paramétricos adecuados para diversos problemas de la estadística e implementarlos eficientemente en la computadora, incluso en situaciones no estándar. Asimismo, exponer al estudiante a las diversas técnicas de remuestreo disponibles en la estadística moderna, haciéndolo consciente de las posibilidades y limitaciones de este tipo de procedimiento. El curso requiere un curso previo en Estadística y cierta madurez matemática, para manejar ideas tales como el Teorema del Límite Central para U-Estadísticos, por ejemplo.

Este curso es una introducción a la teoría de procesos estocásticos en tiempo continuo con énfasis en el papel central que juega el movimiento Browniano. Se presentarán algunas aplicaciones en física y en finanzas.

Este curso es una introducción a la teoría de procesos estocásticos en tiempo continuo con énfasis en el papel central que juega el movimiento Browniano y sus generalizaciones naturales, los procesos de Lévy. Se presentarán algunas aplicaciones en biología y física.

El curso se enfoca en presentar la teoría necesaria para modelar y resolver problemas de optimización convexa, buscando siempre incluir ejemplos en el análisis de datos, donde estos problemas surgen.

Curso introductorio a las matemáticas financieras con dos ejes principales: Valoración de derivados y medida neutral al riesgo y optimización de portafolios.

Este curso busca formalizar el pensamiento estratégico  para la toma de decisiones en problemas que involucran interacciones entre agentes. Está dirigido a estudiantes que no sólo valoran el rigor formal en la formulación y análisis de los problemas, sino que también están interesados en la relación entre teoría y las aplicaciones. En el curso se desarrollan los conceptos relacionados con los juegos no cooperativos, cooperativos y evolutivos. Se analizan formalmente las ideas de racionalidad y equilibrio en juegos de diferente naturaleza, teniendo en cuenta la presencia de incertidumbre y utilizando diferentes métodos de solución. Se estudian aplicaciones en economía, finanzas, elección social, biología, ingeniería y redes, entre otras disciplinas.

Para resolver muchos problemas comunes se requiere encontrar una solución óptima en un espacio de soluciones muy grande, pero finito. La optimización combinatoria investiga algoritmos efectivos para resolver estos problemas, mediante el estudio de la estructura de sus espacios de soluciones. Aunque muchos problemas prácticos parecen ser bastante complicados (NP-completos), hay bastantes problemas que pueden ser resueltos por algoritmos efectivos (de tiempo polinomial).

Este curso intentará darles a los estudiantes un buen entendimiento de los aspectos teóricos de la programación lineal, varias nociones y algoritmos fundamentales de la teoría de grafos, y un sentido de la importancia de las pruebas constructivas en las matemáticas finitas. 

El curso busca presentar de una forma unificada los aspectos más importantes de la teoría de control y la teoría de control óptimo. Se expondrán también el uso reciente de técnicas de optimización aplicadas a control.

En este curso presentaremos y analizaremos una variedad de problemas algorítmicos y estilos

de algoritmos. La mayoría de estos problemas se basan en grafos. Aunque los grafos son

objetos matemáticos simples, muchos problemas del mundo real admiten modelos basados en

ellos. Analizaremos cuidadosamente la exactitud y el tiempo de ejecución y el requisito de

espacio (memoria) para cada algoritmo. Introduciremos la clase de problemas NP-completos

para los cuales es muy probable que no exista ningún algoritmo eficiente. Estudiaremos

también el problema de cómo proceder en ausencia de al

La idea de este curso es establecer para los participantes los modelos de ecuaciones diferenciales estocásticas entendido como extensión estocástica de ecuaciones diferenciales deterministas, como herramientas de utilidad en diferentes campos de aplicaciones como en física, economía, ingeniería, biología etc. El libro principal de referencia en la literatura para este objetivo sigue siendo el libro de Kloeden y Platen, en el cual se introducen diferentes tipos de esquemas fuertes, implícitos y explícitos basado en la expansión de Taylor estocástica. Vamos a usar una parte al principio del curso para establecer los conceptos básicos usados y para nivelar el preconocimiento. Habrá la comparación directa con los esquemas de las ecuaciones deterministas y las demostraciones rigurosas de sus órdenes de convergencia. Este curso tiene una parte computacional en cada ejercicio por entregar. Se busca mejorar la capacidad de lectura y comprensión de escritos matemáticos del nivel de los textos de referencia. También para los estudiantes que toman el curso de código 4 las habilidades de presentación.

Un problema típico de la teoría de colas es la siguiente: Suponga que el banco tiene un solo cajero adonde llegan los clientes en momentos aleatorios, en promedio n clientes por hora. Suponga que el tiempo que se demora el cajero en atender a un cliente es una variable aleatoria que tiene una distribución normal con media M y desviación estandar s.  En promedio, cuanto tiempo tiene que esperar un cliente en la cola? –  Se discutirán variantes y generalizaciones de este problema en el curso. 

El curso es una introducción a la programación lineal y sus extensiones, enfatizando la estructura matemática que la soporta, ideas geométricas, algoritmos y soluciones de problemas prácticos.

Entrenamiento en metodología de la enseñanza. Prácticas de micro-enseñanza sobre manejo de preguntas, uso de tablero y sesión de diagnóstico. Instrucciones previas a cada clase, observaciones sobre su desarrollo, elaboración de exámenes. El estudiante dicta una sección de problemas de una magistral bajo la dirección de un profesor del Departamento.

Se le ofrece al estudiante el apoyo necesario y un espacio que le permita aprender a enseñar matemáticas, desde la práctica de esta actividad, en una sección complementaria de problemas, bajo la tutoría del profesor de la clase magistral. Además los practicantes tienen el apoyo del director de práctica y un seminario en el que intercambian sus experiencias y se hacen reflexiones teóricas y tareas acerca de la didáctica de las matemáticas.

 

Elaboración de un trabajo escrito en un área específica de las matemáticas, en el cual se demuestre capacidad para la investigación y para la exposición de un tema con todos los requisitos de claridad, corrección y estilo apropiado.

En el curso se explica la metodología para encontrar temas de investigación en el área de las Matemáticas.

En este curso los estudiantes asisten al Coloquio de nuestro departamento para poder de esta forma conocer temas avanzados de investigación que podrían ser el objeto de un proyecto de grado. Al final del curso los estudiantes tienen que escoger un tema de proyecto de grado y escribir una propuesta de trabajo aprobada por un profesor de planta del departamento. El Coloquio puede ser reemplazado por la asistencia y participación activa en un seminario regular del Departamento.

 

 

Este curso lo deben inscribir los estudiantes de pregrado que planean recibir su grado el semestre siguiente.

Es la práctica que se realiza en una empresa, de tiempo complete.  El estudiante solo podrá inscribir este curso durante el semestre de la práctica.  Puede reemplazar una práctica docente.